题目链接：洛谷

题目描述：求整数$x\in [a,b]$使得$|2px \ mod \ 2q-q|$最小，如果有多个$x$输出最小的。

数据范围：$1\leq a,b,p,q\leq 10^9$

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第一道类欧的不是模板的题？？

首先一看就尝试一下二分，如何判断$2px \ mod \ 2q \in [l,r]$呢？我们发现

$$[2px \ mod \ 2q \in [l,r]]=\lfloor\frac{2px-l}{2q}\rfloor-\lfloor\frac{2px-r-1}{2q}\rfloor$$

所以存在$x\in [a,b]$使得$2px \ mod \ 2q \in [l,r]$，只需要判断$\sum_{x=a}^b(\lfloor\frac{2px-l}{2q}\rfloor-\lfloor\frac{2px-r-1}{2q}\rfloor)$是否大于0就可以了，这个使用类欧计算。

找到最小的偏差值$l$之后可以使用扩欧解同余方程。时间复杂度$O(\log^2 n)$。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define Rint register int
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 LL t, a, b, p, q, len;
 6 inline LL calc(LL a, LL b, LL c, LL n){
 7     if(!a || !n) return (n + 1) * (b / c);
 8     if(n < 0) return 0;
 9     LL m = (a * n + b) / c;
10     if(a >= c || b >= c) return calc(a % c, b % c, c, n) + (n * (n + 1) >> 1) * (a / c) + (n + 1) * (b / c);
11     return m * n - calc(c, c - b - 1, a, m - 1);
12 }
13 inline LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
14     if(!b){x = 1; y = 0; return a;}
15     LL gcd = exgcd(b, a % b, y, x);
16     y -= a / b * x;
17     return gcd;
18 }
19 int main(){
20     scanf("%lld", &t);
21     while(t --){
22         scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &p, &q);
23         LL l = 0, r = q, mid, P = p << 1, Q = q << 1;
24         while(l < r){
25             mid = l + r >> 1;
26             LL L = q - mid, R = q + mid + 1;
27             if(calc(P, Q - L, Q, b) + calc(P, Q - R, Q, a - 1) - calc(P, Q - L, Q, a - 1) - calc(P, Q - R, Q, b) > 0) r = mid;
28             else l = mid + 1;
29         }
30         LL x, y, gcd = exgcd(P, Q, x, y), ans = 1e9; P /= gcd; Q /= gcd;
31         if((q - l) % gcd == 0){
32             LL xx = (q - l) / gcd * x; xx += (a - xx) / Q * Q;
33             while(xx >= a) xx -= Q; while(xx < a) xx += Q;
34             ans = min(ans, xx);
35         }
36         if((q + l) % gcd == 0){
37             LL xx = (q + l) / gcd * x; xx += (a - xx) / Q * Q;
38             while(xx >= a) xx -= Q; while(xx < a) xx += Q;
39             ans = min(ans, xx);
40         }
41         printf("%lld\n", ans);
42     }
43 }

CF1182F

后来看了一波官方题解，结果发现是一个类似BSGS的分块，时间复杂度$O(\sqrt{n})$。（写得不好还要带一个log...）

（还是上面那个方法更好一些）

（最主要是看起来更高大上一点。。。）