【AcWing】蓝桥杯集训每日一题Day13|BFS|状态转移|1355.母亲的牛奶(C++)

2024-04-17 10:19:35

1355.母亲的牛奶

1355. 母亲的牛奶 - AcWing题库
难度：中等
时/空限制：1s / 64MB
总通过数：3690
总尝试数：4984
来源： usaco training 1.5
算法标签 BFSDFS

题目内容

农夫约翰有三个容量分别为 A,B,C 升的挤奶桶。
最开始桶 A 和桶 B 都是空的，而桶 C 里装满了牛奶。
有时，约翰会将牛奶从一个桶倒到另一个桶中，直到被倒入牛奶的桶满了或者倒出牛奶的桶空了为止。
这一过程中间不能有任何停顿，并且不会有任何牛奶的浪费。
请你编写一个程序判断，当 A 桶是空的时候，C 桶中可能包含多少升牛奶，找出所有的可能情况。

输入格式

共一行，包含三个整数 A,B,C。

输出格式

共一行，包含若干个整数，表示 C 桶中牛奶存量的所有可能情况，请将这些数字按升序排列。

数据范围

1≤A,B,C≤20

输入样例1：

8 9 10

输出样例1：

1 2 8 9 10

输入样例2：

2 5 10

输出样例2：

5 6 7 8 9 10

题目解析

初始ABC的容积分别是8，9，10
初始的奶量是0，0，10
第一次

把C倒入A桶里8，0，2
也可以倒入第二桶里0，9，1
第二次
把A倒回C里0，0，10
把A倒入B里0，8，2
把C倒入B里8，2，0
把B倒入A里8，1，1
把C倒入A里1，9，0
把B倒入C里0，0，10

每一个状态都可以用一个三元组来表示，可以将所有的三位组看成是图中的点，如果一个状态可以转化为另一个状态的话，可以看成这两个点之间有一条有向边
ABC的容量都是在20以内
所以A有21种选择，0~20，B和C也一样
所以总的状态数是21^3，10000左右
点与点之间有多少条边，对于每一种状态，比如当前牛奶量是a，b，c，容量是A，B，C的话，每个状态要选择从一个到达另外一个，一共有6种转移方式，因此每个点最多向外延伸6条边

所以最终得到一个10000个点的图，总边数是60000左右，初始状态是0，0，C
把所有初始点能到的点都遍历出来，遍历完之后，枚举一下所有第一个数是0的所有状态，然后去判断一下第三个数所有可能的结果

考察的是图的遍历

BFS
1. 代码比较长
2. 可以求最短路
3. 队列，需要的空间比较大
DFS
1. 好写
2. 不能求最短
3. 如果递归层数特别多的话，可能会爆栈

时间复杂度 $O(n^3)$

状态转移的时候要判断倒多少
比如A往B里倒的时候，不能超过A，并且小于等于B的容量减去现有的量

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 21, M = N * N * N;
//M表示队列长度

int A, B, C;    //表示三个桶的容量

//定义一下图中的每个点
struct Node
{
	int a, b, c;
	//每个点是一个三元组
}q[M];

//定义一个bool数组，表示每个点有没有被搜过
bool st[N][N][N];

void bfs()
{
	//定义一下队头队尾
	int hh = 0, tt = 0;
	q[0] = {0, 0, C};  //初始的时候只有C桶有牛奶
	//0,0,C这个状态已经有了
	st[0][0][C] = true;
	//存一下三个桶的容量
	int W[3] = {A, B, C};

	//做一个宽搜模板
	while (hh <= tt)
	{
		//每次取出队头结点
		auto t = q[hh ++];
		//枚举从其中一个桶往另外一个桶里倒，可以放到数组里来写
		for (int i = 0; i < 3; i ++)
			//枚举倒向哪个桶
			for (int j = 0; j < 3; j ++)
				//判断一下不能往自己桶里倒
				if (i != j)
				{
					//从桶i往桶j中倒
					int w[3] = {t.a, t.b, t.c};
					//能倒多少
					int r = min(w[i], W[j] - w[j]);
					w[i] -= r, w[j] += r;
					int a = w[0], b = w[1], c = w[2];
					//如果发现abc没有被拓展过
					if (!st[a][b][c])
					{
						//扩展一下
						st[a][b][c] = true;
						//把当前状态加到队列当中
						q[++ tt] = {a, b, c};
					}
				}
	}
}

int main()
{
	//读入每一个桶的容量
	scanf ("%d%d%d", &A, &B, &C);
	bfs();

	//依次枚举，第一桶是0的话，后面两桶里所有可能的奶量
	for (int c = 0; c <= C; c ++)
		for (int b = 0; b <= B; b ++)
			//如果0bc可以枚举到的话
			if (st[0][b][c])
			{
				printf("%d ", c);
				break;
			}

	return 0;
}

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