性质1：导数最大值的求解
f
(
x
)
=
A
1
+
e
a
−
b
x
f(x)=\frac{A}{1+e^{a-bx}}
f(x)=1+ea−bxA
对
f
(
x
)
f(x)
f(x)求导的
d
f
d
x
=
A
b
e
a
−
b
x
(
e
a
−
b
x
+
1
)
2
=
A
b
[
(
e
a
−
b
x
)
1
2
+
(
e
a
−
b
x
)
−
1
2
]
2
\frac{df}{dx}=\frac{Abe^{a-bx}}{(e^{a-bx}+1)^2}=\frac{Ab}{[(e^{a-bx})^\frac{1}{2}+(e^{a-bx})^{-\frac{1}{2}}]^2}
dxdf=(ea−bx+1)2Abea−bx=[(ea−bx)21+(ea−bx)−21]2Ab
由
(
e
a
−
b
x
)
1
2
≥
0
(e^{a-bx})^{\frac{1}{2}}\ge0
(ea−bx)21≥0和
(
e
a
−
b
x
)
−
1
2
≥
0
(e^{a-bx})^{-\frac{1}{2}}\ge0
(ea−bx)−21≥0可以满足以下条件:
(
e
a
−
b
x
)
1
/
2
+
（
e
a
−
b
x
)
−
1
/
2
≥
(
e
a
−
b
x
)
1
/
2
×
(
e
a
−
b
x
)
−
1
/
2
=
2
(e^{a-bx})^{1/2}+（e^{a-bx})^{-1/2}\ge \sqrt{(e^{a-bx})^{1/2}\times(e^{a-bx})^{-1/2}}=2
(ea−bx)1/2+（ea−bx)−1/2≥(ea−bx)1/2×(ea−bx)−1/2
=2当
(
e
a
−
b
x
)
1
/
2
=
(
e
a
−
b
x
)
−
1
/
2
(e^{a-bx})^{1/2}=(e^{a-bx})^{-1/2}
(ea−bx)1/2=(ea−bx)−1/2时取得
"
=
"
"="
"="
所以
(
e
a
−
b
x
)
1
/
2
+
(
e
a
−
b
x
)
−
1
/
2
(e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}
(ea−bx)1/2+(ea−bx)−1/2最小值为
2
2
2
f
′
(
x
)
=
A
b
[
(
e
a
−
b
x
)
1
/
2
+
(
e
a
−
b
x
)
−
1
/
2
]
≤
A
b
4
f'(x)=\frac{Ab}{[(e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}]}\leq{ \frac{Ab}{4}}
f′(x)=[(ea−bx)1/2+(ea−bx)−1/2]Ab≤4Ab
性质2：中心对称的证明
关于点
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)中心对称函数满足性质
f
(
x
0
+
x
)
+
f
(
x
0
−
x
)
=
2
y
0
f(x_0+x)+f(x_0-x)=2y_0
f(x0+x)+f(x0−x)=2y0
假设
s
s
s型函数的中心对称，且关于点
(
a
b
,
A
2
)
(\frac{a}{b},\frac{A}{2})
(ba,2A)中心对称则满足
f
(
a
b
+
x
)
+
f
(
a
b
−
x
)
=
A
1
+
e
−
b
x
=
A
…
…
（
1
）
f(\frac{a}{b}+x)+f(\frac{a}{b}-x)=\frac{A}{1+e^{-bx}}=A……（1）
f(ba+x)+f(ba−x)=1+e−bxA=A……（1）
易得
f
(
a
b
+
x
)
+
A
1
+
e
a
−
b
(
a
b
+
x
)
=
A
1
+
e
−
b
x
=
A
e
b
x
1
+
e
b
x
…
…
(
2
)
f(\frac{a}{b}+x)+\frac{A}{1+e^{a-b(\frac{a}{b}+x)}}=\frac{A}{1+e^{-bx}}=\frac{Ae^{bx}}{1+e^{bx}}……(2)
f(ba+x)+1+ea−b(ba+x)A=1+e−bxA=1+ebxAebx……(2)
f
(
a
b
−
x
)
+
A
1
+
e
a
−
b
(
a
b
−
x
)
=
A
1
+
e
b
x
…
…
（
3
）
f(\frac{a}{b}-x)+\frac{A}{1+e^{a-b(\frac{a}{b}-x)}}=\frac{A}{1+e^{bx}}……（3）
f(ba−x)+1+ea−b(ba−x)A=1+ebxA……（3）
由（2）和（3）式子的（1）式成立
既：s型函数关于点
(
a
b
,
A
2
)
(\frac{a}{b},\frac{A}{2})
(ba,2A)对称
性质3：经过定点 ( 0 , A 1 + e a ) (0,\frac{A}{1+e^a}) (0,1+eaA)
当多组
f
(
x
)
=
A
1
+
e
a
−
b
x
f(x)=\frac{A}{1+e^{a-bx}}
f(x)=1+ea−bxA函数中参数A,a相同参数b不同则函数同过点
(
0
,
A
1
+
e
a
)
(0,\frac{A}{1+e^a})
(0,1+eaA)