证明 当 a=qb+r, gcd(a,b)=gcd(b,r)，a,b,q,r 属于整数

 

证明：

1˚ 当 a = b = 0，则 r = 0，gcd(a,b)=gcd(b,r) 成立

2˚ 当 a，b 不同时为零

设 gcd(a,b) = d，gcd(b,r) = c，即 d 是 a，b 的 最大公因数，c 是 b，r 的 最大公因数

因为 gcd(a,b) = d，所以 d｜a，d｜b （ 其中符号“｜”表示整除：除数｜被除数 ）

根据 整除的性质 a｜b 且 a｜c ⇔ 对任意的 x，y ∈ ℤ 有 a｜( bx + cy )

得 d｜(ax + by)， 令 x=1，y=-q，则 d｜(a - bq) ，即 d｜r

因为 d｜b，d｜r，所以 d 是 b，r 的公因数

因为已知 c 是 b，r 的 最大公因数，所以 d ≤ c     ①

 

同理可得 c 是 a，b 的公因数

因为已知 d 是 a，b 的 最大公因数，所以 c ≤ d     ②

 

因为 d ≤ c 且 c ≤ d，所以 d = c， gcd(a,b)=gcd(b,r) 成立

 

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证  c 是 a，b 的公因数

因为 gcd(b,r) = c，所以 b｜c，r｜c

根据 整除的性质 a｜b 且 a｜c ⇔ 对任意的 x，y ∈ ℤ 有 a｜( bx + cy )

得 c｜(bx + ry)， 令 x=q，y=q，则 c｜(bq + r) ，即 c｜a

因为 c｜a，c｜b，所以 c 是 a，b 的公因数