方程与方程组
看 a 与 1
从一粒细沙俯察世界，
从一朵野花仰望苍穹；
用你的掌心把握无穷，
在一小时内留驻恒永。
——《天真的预言》
读者在阅读这本小册子时，首先要做的，就是你的眼睛：“看 \(a\) 不是 \(a\)，看 \(1\) 不是 \(1\)”.看 “\(a\)” 应该是看你曾经的所有，能做到吗？亲爱的读者们.
一元一次方程的求解
受过数学训练的人，应当比没有受过数学训练的人聪明一些，效率更高一些.
——单墫
一元一次方程是学习方程的基础，应当注重训练。
含字母系数的一次方程
......从产生数的符号算起，到想用一个符号来表示“无”，足足花了人类五千年的时间.
——阿西莫夫
适当地使用字母，可以使问题简化，规律变得明显.
——单墫
方程 \(ax=b\) 解的情形为：
- $a\neq 0 $时方程有唯一解，为 \(x=\frac{a}{b}\)
- \(a=0\) 且 \(b=0\) 时方程有无数多个解
- \(a=0\) 且 \(b\neq0\) 时方程无解
方程的步骤规范十分重要，应当注重。
降次是解方程的基本思想，应当学会灵活运用。
一元方程的应用
如果没有数学的帮助和介入，对于大自然中的许多部分，我们既不能加以足够的精细去阐明，也不能以足够的明晰去论证，还不能已足够的灵巧去应用。
——伽利略
仔细阅读，理清关系，大胆设元，转化为数学式子。
二元一次方程组
落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色
——王勃
解二元一次方程组的基本思想就是“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程，恰似秋水共长天一色。
常用的消元法有“加减消元法”和“代入消元法”。
处理较为复杂的一次方程组时还需灵活运用等式的基本性质，以及“整体换元”等基本技巧。
一般地，对于二元一次方程组
\[\cases{ a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 } \]这里 \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\), \(b_2\) 为已知数，\(a_1\) 与 \(b_1\) ，\(a_2\) 与 \(b_2\) 都至少有一个不为 \(0\)
-
当 \(\frac{a_1}{a_2}\neq \frac{b_1}{b_2}\) ，方程组有唯一一组解
\[\cases{ x=\frac{b_2c_1-b_1c_2}{a_1b_2-a_2b_1}\\ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1} } \] -
当 \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)，方程组有无穷多组解
-
当 \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq \frac{c_1}{c_2}\)，方程组无解
根据平方的非负性解题的基本方法应当熟练掌握。
解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和时间学到它......你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题高手，你就必须去解题。
——波利亚
二元一次方程组的应用
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用数学。
——华罗庚
应用二元一次方程解决实际问题时，首要的仍然是多读题，善于用字母将题中对象及关系表达出来，进而利用等式基本性质简化所求问题的代数式，求得实际问题的结果。
学会配方
一切的一，光明呀！
一的一切，光明啊！
光明便是你，光明便是我！
光明便是他，光明便是火！
——郭沫若《凤凰涅槃》——凤凰更生歌
根据平方的非负性解题的基本方法应当熟练掌握。
习题六很有趣：
已知 \(a,b,c\) 是三角形 \(ABC\) 的三边长，且满足
\[\frac{2a^2}{1+a^2}=b,\frac{2b^2}{1+b^2}=c,\frac{2c^2}{1+c^2}=a \]求三角形 \(ABC\) 的面积
事实上，这个式子的轮换特点明显，这应当是一个等边三角形。
当具有这样的轮换特点时，我们通常不从单个式子入手，而是从它们的和或积入手。
若在处理问题时，单独处理各个式子有困难，则需有意识考虑它们的和或积是否容易得到答案。[6]
——第九章
具体求法交给读者完成。
认识一元二次方程
横看成岭侧成峰，
远近高低各不同。
不识庐山真面目，
只缘身在此山中。
——苏轼《题西林壁》
如何解一元二次方程？
配方：
\[\begin{align*} ax^2+bx+c&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})+(c-\frac{b^2}{4a})\\ &=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \end{align*} \]所以方程 \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) 转化为
\[a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0 \]即
\[(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}. \]则当 \(b^2-4ac \geq 0\) 时，由平方根的意义可以得到方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的解为
\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}(b^2-4ac\geq 0). \]这又叫做一元二次方程的求根公式。
这样我们解一元二次方程由多了一种方法，即公式法，但不论怎么说，配方法是解一元二次方程的基本方法。
-
一元二次方程的求根公式形如 \(x_{1,2}=A\pm \sqrt{B}(B\geq0).\)
反过来，形如 \(A\pm \sqrt{B}\) 的数一定是一元二次方程的根，即有形如 \(ax^2+bx+c=0\) 的等式成立。
利用这一结果常常可以简化一些复杂的数值计算。[7]
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两个一元二次方程有公共根或根有数学关系时常常消去二次项求解字母系数。[8]
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根作为字母系数出现时常常直接带入解一元二次方程。[9]
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已知根或根的关系求字母系数时直接带入解一元一次方程。[10]
-
解带字母系数的一元二次方程。[11]
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注意灵活运用公式，如在例题 6 中运用了基本公式：
-
应当掌握将变量表示为所求变量的基本思路。[12]
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此外，还应当注意所学知识的融会贯通，做到“看 \(a\) 不是 \(a\)，看 \(1\) 不是 \(1\)”.看 “\(a\)” 应该是看你曾经的所有。
读点小史
古人是如何解二次方程的呢？
......巴比伦人将二次方程的解法化为一种正规形式，其正规形式是：
\[“已知两数的和与积求此两数”. \]用现代的代数语言来叙述就是：
已知两个数 \(b\) 和 \(c\)，满足 \(xy=c,x+y=b\)，求 \(x,y.\)
......
事实上：
\[bx=(x+y)x=x^2+xy=x^2+c\Leftrightarrow x^2-bx+c=0 \]\(x\) 是此二次方程的解，根据对称性，\(y\) 也是此二次方程的解。
本结论较为重要和实用。[13]
一元二次方程的判别式
羌笛何须怨杨柳，
春风不度玉门关。
——王之涣《凉州词》
是否所有的一元二次方程都有实数解呢？
根据上一章内容，我们知道一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) 可以通过配方转化为
\[a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0 \]即
\[(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}. \]根据平方根的定义，当 \(b^2-4ac\geq 0\) 时，方程才有实数解；当 \(b^2-4ac<0\) 时，方程无实数根.人们把 \(b^2-4ac\) 称为一元二次方程的判别式，记为 \(\Delta\) 。
\(\Delta\) 的正负性犹如“玉门关”，关联着方程有无实数根。
因此说，有方程 \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) 就有 \(\Delta\).反之有 \(\Delta\)，就可以联想到某个一元二次方程，具有了这样的基本意识，往往可以方便解题。
- 上述的求根公式，还可以变形为
这是一个非常有用的等式。[14]
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利用判别式 \(\Delta\) 求实数根存在问题[15]
-
利用判别式 \(\Delta\) 配方化简解决变量相关问题[16]
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若在处理问题时，单独处理各个式子有困难，则需有意识考虑它们的和或积是否容易得到答案。[6:1]
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注意转化已知条件，得到数学关系。
根与系数的关系及其运用
湖光秋月两相和，
潭面无风镜未磨。
遥望洞庭山水色，
白银盘里一青螺。
——刘禹锡《望洞庭》
如果一元二次方程 \(ax^2+bx+c(a\neq 0)\) 的两根为 \(x_1\)，\(x_2\) ，则有
\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) \]比较等式两边对应项的系数，得
\[\cases{x_1+x_2=-\frac{a}{b}\\x_1x_2=\frac{a}{c}}， \]上式也可以运用求根公式得到
上述公式人们称之为韦达定理，即根与系数的关系。
因此，我们知道，给定一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) 就一定有上式成立。
反过来，如果有两数 \(x_1\)，\(x_2\) 满足上式，那么这两数一定是某个一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的根，利用这一基本知识常可以简便地处理问题。
利用根与系数的关系，我们可以不求方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的根，而知其根的正负性。
恰是一元二次方程似“银盘”，根与系数总“相和”。
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利用韦达定理将根代数式转化为系数代数式[17]
- 注意满足判别式 \(\Delta\)
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用配方来求二次式的最大值（最小值），是初中求一类最值问题的基本技巧。[18]
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利用韦达定理构造一元二次方程后由判别式 \(\Delta\) 得到不等式关系。[19]
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利用平方非负性求得变量范围[20]
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配方得到等式关系[5:1]
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注意联系其他知识灵活求解
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考虑对偶（等）式，这是处理一个较为复杂问题的基本意识。[21]
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见本章例题 1，例题 2 ↩︎
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见本章例题 3 ↩︎
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非常常见的一种运用方法 ↩︎
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见本章习题 3 ↩︎
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见本章例题 1，例题 2，习题 4， ↩︎
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见本章例题 3，习题 3，习题 5，习题 6 ↩︎
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见本章例题 4 ↩︎
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见本章习题 1，习题 2，习题 3 ↩︎
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见本章例题 5，习题 7 ↩︎
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如本章例题 7，习题 8 ↩︎
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见第十章例题 3，例题 5，例题 6 ↩︎
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见本章例题 6 ↩︎
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见本章例题 1，习题 1，习题 2 ↩︎
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见本章例题 2，例题 3，例题 4，例题 6，习题 3，习题 5 ↩︎
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见本章例题 1，例题 2，例题 6，习题 1，习题 2，习题 3，习题 4，习题 5，习题 6，习题 8，习题 9，习题 10 ↩︎
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见本章例题 2 ↩︎
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见本章例题 3，例题 5，例题 6，习题 5 ↩︎
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见本章例题 4，习题 4，习题 6 ↩︎
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见本章习题 8 ↩︎