目录

一、题目描述

二、解题思路

三、代码实现

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一、题目描述

给出一个完全二叉树，求出该树的节点个数。

说明：

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~  个节点。

示例:

输入: 
    1
   / \
  2   3
 / \  /
4  5 6

输出: 6

二、解题思路

这题是树的题，而且是求树的节点数，老经典题了。深度优先，广度优先都能正确求出结果。但是题目重点讲是完全二叉树，就知道没那么简单，肯定是要使用完全二叉树的性质才行。

利用完全二叉树的性质有两种方式：

1、利用完全二叉树对dfs剪枝；、

• 一颗完全二叉树如果左子树的深度跟右子树的深度一样：则左子树为满二叉树，可直接得到其节点数，这时只需要再统计右子树的节点数；
• 如果左子树的深度大于右子树的深度：则右子树为满二叉树，可直接得到其节点数，这时只需要再统计左子树的节点数；
• 这个过程是重复子问题，可以用递归，时间复杂度为logn*logn

2、只对最后一层进行查找：二分查找

• 这里有一个技巧：从1开始依次对结点编号，将编号转为二进制，则该二进制的意义是：第一位为1，往后的每一位代表从根节点依次走的路径，0代表走右子树，1代表走左子树；比如编号为12的结点，二进制为1100，后三位100代表从根节点依次走过：右->左->左 的路径达到该节点。只要是完全二叉树就满足这个性质。
• 因此只需要使用二分查找找到最后一层(利用二叉树的性质可以得到最后一层结点的编号范围)最右边存在的那个结点，该节点的编号即为树的结点个数

三、代码实现

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;

struct TreeNode {
	int val;
	TreeNode *left;
	TreeNode *right;
	TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
//方法一：dfs暴力法
int countNodes(TreeNode* root) {
	if (!root) return 0;
	return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;
}

bool exists(TreeNode* root, int level, int k) {
	int bits = 1 << (level - 1);
	TreeNode* node = root;
	while (node != nullptr && bits > 0) {
		if (!(bits & k)) {
			node = node->left;
		} else {
			node = node->right;
		}
		bits >>= 1;
	}
	return node != nullptr;
}
//方法二：二分法：利用完全二叉树的性质，只对最后一层进行二分查找
//例如最后一层编号9的节点，二进制1001，表示从根节点开始路径分别为:左子树->左子树->右子树(0:右子树，1:左子树);
//那么用一个三位二进制串100，与1001进行按位与就可以知道第一步是走的左子树还是右子树；用10与1001与就知道第二步是哪个子树，以此类推
//当最后一次路径走完之后，如果到达的节点不为空，这说明这个节点存在，否则不存在；
//整个过程复杂度为logn
int countNodes2(TreeNode* root) {
	if (root == nullptr) {
		return 0;
	}
	int level = 0;
	TreeNode* node = root;
	while (node->left != nullptr) {
		level++;
		node = node->left;
	}
	int low = 1 << level, high = (1 << (level + 1)) - 1;
	while (low < high) {
		int mid = (high - low + 1) / 2 + low;
		if (exists(root, level, mid)) {
			low = mid;
		} else {
			high = mid - 1;
		}
	}
	return low;
}
//方法三：利用完全二叉树的性质进行剪枝的dfs
//一颗完全二叉树如果左子树的深度跟右子树的深度一样：则左子树为满二叉树，可直接得到其节点数，这时只需要再统计右子树的节点数；
//如果左子树的深度大于右子树的深度：则右子树为满二叉树，可直接得到其节点数，这时只需要再统计左子树的节点数；
//这个过程是重复子问题，可以用递归，时间复杂度为logn*logn

//求树的深度
int countLevels(TreeNode* root) {
	int levels = 0;
	while (root) {
		root = root->left; levels += 1;
	}
	return levels;
}
int countNodes3(TreeNode* root) {
	// 2. 利用完全二叉树性质简化遍历次数
	if (root == nullptr) return 0;
	int left_levels = countLevels(root->left);
	int right_levels = countLevels(root->right);
	// 左子树深度等于右子树深度, 则左子树是满二叉树
	if (left_levels == right_levels) {
		//(1 << left_levels) - 1 + 1 = (1 << left_levels)
		return countNodes(root->right) + (1 << left_levels);
	} else {
		return countNodes(root->left) + (1 << right_levels);
	}
}


int main() {
	TreeNode* root = new TreeNode(1);
	root->left = new TreeNode(2);
	root->right = new TreeNode(3);
	root->left->left = new TreeNode(4);
	root->left->right = new TreeNode(5);
	//	root->right->left = new TreeNode(6);

	cout << countNodes(root) << endl;

	return 0;
}