上面通过代码构造了高斯算子，并且使用二维的卷积运算来平滑图像，也达到了目标，不过还有一个问题，就是当你处理比较大的图片，或者比较大的高斯矩阵时，就会发现计算的时间很长。这时候我们就要考虑有没有高效快速的算法了，再回过头来审视一下二维高斯函数：

可以看到最后的等式，再考虑指数的运算法则：

根据（1）指数运算公式，反向使用它，就可以变换为两个指数相乘，这样就有意义了，表明高斯算子是可以分离的，并且是可以先作一维的水平的卷积运算，再作一维的垂直的卷积运算，这样的结果是一样的。

下面先来探讨一下卷积计算可分离性，演示的例子如下：

#python 3.7.4,opencv4.1
#蔡军生 https://blog.****.net/caimouse/article/details/51749579
#
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

#计算卷积
image = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

k1 = np.array([[1],[1],[1]])
k2 = np.array([[1,0,-1]])

k3 = signal.convolve2d(k1, k2)
print(k1,k2,k3)

输出结果如下：

[[1]

 [1]

 [1]]

分离矩阵1

[[ 1  0 -1]]

分离矩阵2

 

[[ 1  0 -1]

 [ 1  0 -1]

 [ 1  0 -1]]

卷积计算后的总矩阵

 

下面来做这样的实验，让一个矩阵先与一维水平方向的卷积运算，再与一维垂直方向上的卷积运算；接着让一个矩阵与二维矩阵卷积运算，代码如下：

#python 3.7.4,opencv4.1
#蔡军生 https://blog.****.net/caimouse/article/details/51749579
#
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

#计算卷积
image = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

k1 = np.array([[1],[1],[1]])
k2 = np.array([[1,0,-1]])

k3 = signal.convolve2d(k1, k2)
print(k1,k2,k3)

image = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
#先一维分两次计算
out1 = signal.convolve2d(image, k1)
out2 = signal.convolve2d(out1, k2)
print(out2)

#二维一次计算
out3 = signal.convolve2d(image, k3)
print(out3)

结果输出如下：

[[  1   2   2  -2  -3]

 [  5   7   4  -7  -9]

 [ 12  15   6 -15 -18]

 [ 11  13   4 -13 -15]

 [  7   8   2  -8  -9]]

[[  1   2   2  -2  -3]

 [  5   7   4  -7  -9]

 [ 12  15   6 -15 -18]

 [ 11  13   4 -13 -15]

 [  7   8   2  -8  -9]]

从上面可以看到可分离的卷积核，分为两次一维的计算和一次二维的计算结果是一样的。利用这个性质，就可以加速高斯平滑的计算，因为两次一维的计算量为（图像高度*图像宽度）*(卷积核1高度+卷积核2宽度)，而二维的情况计算量为（图像高度*图像宽度）*(卷积核1高度*卷积核2宽度)，可以看到一维计算情况要少一些。

https://blog.****.net/caimouse/article/details/51749579