[COGS 2583]南极科考旅行

2583. 南极科考旅行

★★   输入文件:BitonicTour.in   输出文件:BitonicTour.out   简单对比
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【题目描述】

小美要在南极进行科考,现在她要规划一下科考的路线。

地图上有 N 个地点,小美要从这 N 个地点中 x 坐标最小的地点 A,走到 x 坐标最大的地点 B,然后再走回地点 A。

请设计路线,使得小美可以考察所有的地点,并且在从 A 到 B 的路程中,考察的地点的 x 坐标总是上升的,在从 B 到 A 的过程中,考察的地点的 x 坐标总是下降的。

求小美所需要走的最短距离(欧几里得距离)。

【输入格式】

输入共 N+1 行。

第 1 行包含 1 个正整数 N,表示地图上共有 N 个地点。

第 1 +(1) 至 1 +(N) 行,每行包含 2 个正整数 x, y,表示其中 1 个地点的坐标。

【输出格式】

输出共 1 行。

第 1 行包含一个浮点数,表示小美需要走的最短距离,保留两位小数。

【样例输入】

4
1 1
2 3
4 1
3 2

【样例输出】

 8.06

【数据范围及约定】

对于前 20% 测试数据

3 <= N <= 6

1 <= x <= 20, 1 <= y <= 20

对于后 80% 测试数据

3 <= N <= 300

1 <= x <= 10000, 1 <= y <= 10000

对于全部测试点,保证每个点坐标的 x 值互不相同

【来源】

Bitonic Tour

题解

乍一看好像一脸 $DP$ 的样子...这种要走一个来回的情形似乎是之前的某个叫做小烈上菜的题...

然而居然出现在了网络流专题里...

行吧网络流就网络流...一开始感觉不会有费用流就开始构最大流(最小割)的图然而直接 $GG$ ...然后意识到是费用流...

woc我不会打费用流啊QAQ

$dbw$ 强行教学一波 $zkw$ 网络流...打完板子开始构图w

首先肯定是要按横坐标排序, 然后我们发现一去一回的方向并没有什么卵用, 找到一个环和找到两条路径是等价的. 这样我们可以发现, 每个结点都必须选择两条边, 其中 $x$ 最小的结点两条都是出边, 最大的结点两条都是入边, 其他结点一条入边一条出边, 这样的话我们可以得到这样的构图:

[COGS 2583]南极科考旅行

其中较粗的边容量为2, 较细的边容量为1, $s$ 连出的边和连向 $t$ 的边费用为 $0$ , 实际结点间边的距离即为欧几里得距离.

写 $zkw$ 网络流的话有一个坑点: 由于增广时要判断某条边是否在最短路上, 但是现在费用是一个实数, 所以会有精度问题, 直接使用  dis[s]+i->dis==dis[i->to]  判定的话会炸精度死循环, 这点需要注意OwO

参考代码

GitHub

 #include <bits/stdc++.h>

 const int MAXV=1e3+;
const int MAXE=2e5+;
const double INF=1e10;
const int INFI=0x3F3F3F3F;
const double EPSILON=1e-; struct Edge{
int from;
int to;
int flow;
double dis;
Edge* rev;
Edge* next;
};
Edge E[MAXE];
Edge* head[MAXV];
Edge* top=E; struct Node{
double x;
double y;
bool friend operator<(const Node& a,const Node& b){
return a.x<b.x;
}
};
Node N[MAXV]; int n;
int v;
bool vis[MAXV];
double dis[MAXV]; double Sqr(double);
bool SPFA(int,int);
int DFS(int,int,int);
double Dinic(int,int);
void Insert(int,int,double,int);
double EucDis(const Node&,const Node&); int main(){
#ifndef ASC_LOCAL
freopen("BitonicTour.in","r",stdin);
freopen("BitonicTour.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++){
scanf("%lf%lf",&N[i].x,&N[i].y);
}
std::sort(N+,N++n);
for(int i=;i<n;i++){
Insert(,i<<,,);
Insert(i<<|,,,);
}
Insert(,<<,,);
Insert(n<<|,,,);
v=n*+;
for(int i=;i<=n;i++){
for(int j=i+;j<=n;j++){
Insert(i<<,j<<|,EucDis(N[i],N[j]),);
}
}
printf("%.2f\n",Dinic(,));
return ;
} double Dinic(int s,int t){
double ans=;
while(SPFA(s,t)){
memset(vis,,sizeof(vis));
ans+=DFS(s,INFI,t)*dis[t];
}
return ans;
} int DFS(int s,int flow,int t){
if(s==t||flow==)
return flow;
int tmp=flow;
int k;
vis[s]=true;
for(Edge* i=head[s];i!=NULL&&tmp>;i=i->next){
if(i->flow>&&fabs(dis[i->from]+i->dis-dis[i->to])<EPSILON&&!vis[i->to]){
k=DFS(i->to,std::min(tmp,i->flow),t);
tmp-=k;
i->flow-=k;
i->rev->flow+=k;
}
}
return flow-tmp;
} bool SPFA(int s,int t){
for(int i=;i<v;i++)
dis[i]=INF;
memset(vis,,sizeof(vis));
std::queue<int> q;
q.push(s);
vis[s]=true;
dis[s]=;
while(!q.empty()){
s=q.front();
vis[s]=false;
q.pop();
for(Edge* i=head[s];i!=NULL;i=i->next){
if(i->flow>&&dis[s]+i->dis<dis[i->to]){
dis[i->to]=dis[s]+i->dis;
if(!vis[i->to]){
q.push(i->to);
vis[i->to]=true;
}
}
}
}
return dis[t]<INFI;
} void Insert(int from,int to,double dis,int flow){
top->from=from;
top->to=to;
top->dis=dis;
top->flow=flow;
top->rev=top+;
top->next=head[from];
head[from]=top++; top->from=to;
top->to=from;
top->dis=-dis;
top->flow=;
top->rev=top-;
top->next=head[to];
head[to]=top++;
} inline double EucDis(const Node& a,const Node& b){
return sqrt(Sqr(a.x-b.x)+Sqr(a.y-b.y));
} inline double Sqr(double x){
return x*x;
}

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