4.1 随机变量的概率计算和数字特征

4.1.1 随机变量的概率计算

例4.1 设 (1）求P{2<X<6}；（2）确定c，使P{-3c<X<2c}=0.6

from scipy.stats import norm
from scipy.optimize import fsolve
print("p=",norm.cdf(6,3,5)-norm.cdf(2,3,5))#做差，后减前
f=lambda c: norm.cdf(2*c,3,5)-norm.cdf(-3*c,3,5)-0.6
print("c=",fsolve(f,0))

 定义4.1 α分位数

若连续型随机变量X的分布函数为  ,对于0<α<1,若  使得 ,则称  为这个分布的α分位数。若  的反函数存在,则有 

 定义4.2 上α分位数

若连续型随机变量X的分布函数为 ，对于,若  使得  ，则称  为这个分布的上α分位数。 若  的反函数存在,则有 

例4.2 设  ,若  满足条件  ，则称  为标准正态分布的上α分位数。试计算几个常用的  的值,并画出  的示意图.
计算得到几个常用的  的值见下表， 的示意图见下图：

from scipy.stats import norm
from pylab import plot,fill_between,show,text,savefig,rc 
from numpy import array, linspace, zeros
alpha=array([0.001, 0.005, 0.01, 0.025, 0.05, 0.10])#表中给的alpha的值
za=norm.ppf(1-alpha,0,1)  #求上alpha分位数  #定义4.2
print("上alpha分位数分别为", za)
x=linspace(-4, 4, 100); y=norm.pdf(x, 0, 1)
rc('font',size=16); rc('text',usetex=True)
plot(x,y)  #画标准正态分布密度曲线
x2=linspace(za[-1],4,100)#在0.1对应的上alpha分位数和4之间取100个点
y2=norm.pdf(x2);
y1=[0]*len(x2)
fill_between(x2, y1, y2, color='r')  #y1,y2对应的点之间填充
plot([-4,4],[0,0])  #画水平线    # [-4,0]|[4,0]
text(1.9, 0.07, "$\\leftarrow\\alpha$=0.1")  #标注
savefig("figure4_2.png", dpi=500); show()

 

 

4.1.2 随机变量数字特征简介

定义4.3：设随机变量X的分布律为：

若级数  绝对收敛，则称级数  的和为随机变量X的数学期望，记为  ,即  

定义4.4：设X是一个随机变量，若  存在，则称  为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即：

 称为标准差或均方差。

方差其实就是随机变量X的函数  的数学期望