首先得明确逻辑回归与线性回归不同，它是一种分类模型。而且是一种二分类模型。
首先我们需要知道sigmoid函数，其公式表达如下：
其函数曲线如下：
sigmoid函数有什么性质呢？
1、关于（0,0.5） 对称
2、值域范围在(0,1)之间
3、单调递增
4、光滑
5、中间较陡，两侧较平缓
6、其导数为g(z)(1-g(z))，即可以用原函数直接计算
于是逻辑回归的函数形式可以用以下公式表示：
其中θ表示权重参数，x表示输入。θTx为决策边界，就是该决策边界将不同类数据区分开来。
为什么使用sigmoid函数呢？
1、sigmoid函数本身的性质
2、推导而来
我们知道伯努利分布：
当x=1时，f(1|p) =p，当x=0时，f(0|p)=1-p
首先要明确伯努利分布也是指数族，指数族的一般表达式为：
由于：
则有：
所以：
因为：
则有：
逻辑回归代价函数：
为什么这么定义呢？
以单个样本为例：
上面式子等价于：
当y=1时，其图像如下：
也就是说当hθ(x)的值越接近1，C(θ) 的值就越小。
同理当y=0时，其图像如下：
也就是说当hθ(x)的值越接近0，C(θ) 的值就越小。
这样就可以将不同类区分开来。
代价函数的倒数如下：
推导过程如下：
上面参考了：
https://blog.csdn.net/sun_wangdong/article/details/80780368
https://zhuanlan.zhihu.com/p/28415991
接下来就是代码实现了，代码来源： https://github.com/eriklindernoren/ML-From-Scratch
from __future__ import print_function, division
import numpy as np
import math
from mlfromscratch.utils import make_diagonal, Plot
from mlfromscratch.deep_learning.activation_functions import Sigmoid class LogisticRegression():
""" Logistic Regression classifier.
Parameters:
-----------
learning_rate: float
The step length that will be taken when following the negative gradient during
training.
gradient_descent: boolean
True or false depending if gradient descent should be used when training. If
false then we use batch optimization by least squares.
"""
def __init__(self, learning_rate=.1, gradient_descent=True):
self.param = None
self.learning_rate = learning_rate
self.gradient_descent = gradient_descent
self.sigmoid = Sigmoid() def _initialize_parameters(self, X):
n_features = np.shape(X)[1]
# Initialize parameters between [-1/sqrt(N), 1/sqrt(N)]
limit = 1 / math.sqrt(n_features)
self.param = np.random.uniform(-limit, limit, (n_features,)) def fit(self, X, y, n_iterations=4000):
self._initialize_parameters(X)
# Tune parameters for n iterations
for i in range(n_iterations):
# Make a new prediction
y_pred = self.sigmoid(X.dot(self.param))
if self.gradient_descent:
# Move against the gradient of the loss function with
# respect to the parameters to minimize the loss
self.param -= self.learning_rate * -(y - y_pred).dot(X)
else:
# Make a diagonal matrix of the sigmoid gradient column vector
diag_gradient = make_diagonal(self.sigmoid.gradient(X.dot(self.param)))
# Batch opt:
self.param = np.linalg.pinv(X.T.dot(diag_gradient).dot(X)).dot(X.T).dot(diag_gradient.dot(X).dot(self.param) + y - y_pred) def predict(self, X):
y_pred = np.round(self.sigmoid(X.dot(self.param))).astype(int)
return y_pred
说明：np.linalg.pinv()用于计算矩阵的pseudo-inverse（伪逆）。第一种方法求解使用随机梯度下降。
其中make_diagonal()函数如下：用于将向量转换为对角矩阵
def make_diagonal(x):
""" Converts a vector into an diagonal matrix """
m = np.zeros((len(x), len(x)))
for i in range(len(m[0])):
m[i, i] = x[i]
return m
其中Sigmoid代码如下：
class Sigmoid():
def __call__(self, x):
return 1 / (1 + np.exp(-x)) def gradient(self, x):
return self.__call__(x) * (1 - self.__call__(x))
最后是主函数运行代码：
from __future__ import print_function
from sklearn import datasets
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt # Import helper functions
import sys
sys.path.append("/content/drive/My Drive/learn/ML-From-Scratch/")
from mlfromscratch.utils import make_diagonal, normalize, train_test_split, accuracy_score
from mlfromscratch.deep_learning.activation_functions import Sigmoid
from mlfromscratch.utils import Plot
from mlfromscratch.supervised_learning import LogisticRegression def main():
# Load dataset
data = datasets.load_iris()
X = normalize(data.data[data.target != 0])
y = data.target[data.target != 0]
y[y == 1] = 0
y[y == 2] = 1 X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.33, seed=1) clf = LogisticRegression(gradient_descent=True)
clf.fit(X_train, y_train)
y_pred = clf.predict(X_test) accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print ("Accuracy:", accuracy) # Reduce dimension to two using PCA and plot the results
Plot().plot_in_2d(X_test, y_pred, title="Logistic Regression", accuracy=accuracy) if __name__ == "__main__":
main()
结果：
Accuracy: 0.9393939393939394