个人分类： 机器学习
本文为吴恩达《机器学习》课程的读书笔记，并用python实现。
前一篇讲了线性回归，这一篇讲逻辑回归，有了上一篇的基础，这一篇的内容会显得比较简单。
逻辑回归（logistic regression）虽然叫回归，但他做的事实际上是分类。这里我们讨论二元分类，即只分两类，y属于{0,1}。

选择如下的假设函数：
这里写图片描述
其中：
这里写图片描述
上式称为逻辑函数或S型函数，图像如下图：
这里写图片描述
可以看到，当z趋向正无穷，g(z)趋向1，当z趋向负无穷g(z)趋向0，即g(z)取值[0,1]。
同样，令 这里写图片描述 ，
现在我们要根据训练集，获取上面模型的最好参数 值。同样，可以通过最大似然函数的方法来求解。
假设：
这里写图片描述
合并上面两个式子：
这里写图片描述
假设m个训练样本是独立的，则似然函数：
这里写图片描述
同样，我们求其对数值以方便求解：
这里写图片描述
我们的目的是最大似然函数，即max l ，可以用梯度上升法：
这里写图片描述
下面我们先对g(z)进行函数求导（后面会用到）：
这里写图片描述
则可以求得一个样本时的导数（第二步用到 ）：
这里写图片描述
则增量梯度法（上一篇线性回归有介绍）有：
这里写图片描述
m个样本的批处理梯度法有：
这里写图片描述

python 代码：
##author:lijiayan
##data:2016/10/27
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt

def loadData(filename):
data = loadtxt(filename)
x = data[:,0:2]
y = data[:,2:3]
return x,y

#the sigmoid function
def sigmoid(x):
return 1.0 / (1 + exp(-x))

#the cost function
def costfunction(y,h):
y = array(y)
h = array(h)
J = sum(y*log(h))+sum((1-y)*log(1-h))
return J

# the batch gradient descent algrithm
def gradescent(x,y):
m,n = shape(x) #m: number of training example; n: number of features
x = c_[ones(m),x] #add x0
x = mat(x) # to matrix
y = mat(y)
a = 0.002 # learning rate
maxcycle = 2000
theta = ones((n+1,1)) #initial theta

J = []
for i in range(maxcycle):
h = sigmoid(x*theta)
theta = theta + a * x.transpose()*(y-h)
cost = costfunction(y,h)
J.append(cost)

plt.plot(J)
plt.show()
return theta,cost

#the stochastic gradient descent (m should be large,if you want the result is good)
def stocGraddescent(x,y):
m,n = shape(x) #m: number of training example; n: number of features
x = c_[ones(m),x] #add x0
x = mat(x) # to matrix
y = mat(y)
a = 0.01 # learning rate
theta = ones((n+1,1)) #initial theta

J = []
for i in range(m):
h = sigmoid(x[i]*theta)
theta = theta + a * x[i].transpose()*(y[i]-h)
cost = costfunction(y,h)
J.append(cost)
plt.plot(J)
plt.show()
return theta,cost

#plot the decision boundary
def plotbestfit(x,y,theta):
plt.plot(x[:,0:1][where(y==1)],x[:,1:2][where(y==1)],'ro')
plt.plot(x[:,0:1][where(y!=1)],x[:,1:2][where(y!=1)],'bx')
x1= arange(-4,4,0.1)
x2 =(-float(theta[0])-float(theta[1])*x1) /float(theta[2])

plt.plot(x1,x2)
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel(('x2'))
plt.show()

def classifyVector(inX,theta):
prob = sigmoid(sum(inX*theta))
print 'the probobility is:',prob
if prob > 0.5:
return 1.0
else:
return 0.0

if __name__=='__main__':
x,y = loadData("testSet.txt")
theta,cost = gradescent(x,y)
print 'theta:\n',theta
print 'J:',cost

X = [1,2,9]
print 'the new input:',X
h = classifyVector(X,theta)
print 'the predict y:',h
plotbestfit(x,y,theta)

这个是logL（似然函数对数值）的曲线图，有点cost function的意思，只不过cost function取最小值，这个是取最大值，平稳了不震荡、不发散，就说明算法正常运行：
这里写图片描述

这个是两个类的分类示意图：
这里写图片描述

这是最后的运算结果，给出了theta值，logL的最终值（最大值），以及新来一个输入X，模型给出的预测值。注意，输入是两个特征x1,x2，这边X=[1，2，9]是三个特征，其中有一个是x0=1。
这里写图片描述