确定有限自动机(DFA)
确定有限自动机(Deterministic Finite Automata,DFA) M是一个五元式 M=(S, , f, S0, F),其中:
1.S: 有穷状态集
2.:输入字母表(有穷)
3.f: 状态转换函数,为S´SS的单值部分映射,f(s,a)=s’表示:当现行状态为s,输入字符为a时,将状态转换到下一状态s’,s’称为s的一个后继状态
4.是唯一的一个初态
5.F S :终态集(可空)
PS:根据图1.1.来说
1.有穷状态集即带圈圈的数字的集合
2.字母表即从一个数字圈圈变成下一个数字圈圈的条件的集合
3.状态转换函数就那个箭头,也就是怎么转换的具体过程
4.初态就是入口
5.终态就是出口
eg:
DFA M=( {0,1,2,3},{a,b},f,0,{3}), 其中f定义如下:
f(0,a)=1 f(0,b)=2
f(1,a)=3 f(1,b)=2
f(2,a)=1 f(2,b)=3
f(3,a)=3 f(3,b)=3
确定有限自动机产生语言
对于中的任何字a,若存在一条从初态到某一终态的道路,且这条路上所有弧上的标记符连接成的字等于a,则称a为DFA M所识别(接收) PS:括号忽略掉,=的闭包
DFA M所识别的字的全体记为L(M)
PS:这句话就是说只要存在一条从入口到出口的路。这条路上的字母组成的字符串就能被该自动机识别并处理
eg:
这个识别的就是所有以00结尾的串也就是说,
该自动机M产生的语言是 L(M)={以00结尾的串}
再举例
以下哪个DFA能识别 {}?
很显然 ,A 能够识别一个字。因为系统初始处于初态q0,不读入任何字符也是停留在q0,而q0又是终态,所以相当于从初始状态q0出发,读入了长度为0字符串,停留在终止状态q0,也就是识别了。或者从路径上理解,q0到q0就是一个从初态到终态的通路,通路上的标记构成的字符串就是。
再来看看图B,B 能识别任什么字?因为系统初始处于初态q0,q0没有射出弧,无法读入任何字符而转入别的状态,而q0本身也不是终态,也不存在从初态到终态的通路,连也不能识别。所以B不能识别任何字,所以,识别的字的集合是空集。
非确定有限自动机(NFA)
定义:一个非确定有限自动机(Nondeterministic Finite Automata,NFA) M是一个五元式M=(S, , f, S0, F),其中:
1.S: 有穷状态集
2. :输入字母表(有穷)
3.f: 状态转换函数,为S´S*的部分映射
4.是非空的初态集
5.F S :终态集(可空)
PS:与确定有限自动机不同的是,f 状态转换函数和它的初态可以有多个!
确定有限自动机的f是单值映射,也就是f的函数的转换条件只能是一个,比如说当输入字母a从状态1转换到状态2。
但是非确定有限最自动机的部分映射,即比如当输入a或者b的时候从状态1转换到状态2,即转换条件的数量
看下面eg的图可能比较容易理解
从状态图看NFA 和DFA的区别
- NFA可以有多个初态
- 弧上的标记可以是S*中的一个字(甚至可以是一个正规式),而不一定是单个字符
- 同一个字可能出现在同状态射出的多条弧上
- DFA是NFA的特例
eg:
非确定有限自动机产生语言
同确定有限自动机一样产生方式类似,只不过需要 忽略
DFA和NFA
- 定义:对于任何两个有限自动机M和M’,如果L(M)=L(M’),则称M与M’等价
- 自动机理论中一个重要的结论:判定两个自动机等价性的算法是存在的
- 对于每个NFA M存在一个DFA M’,使得 L(M)=L(M’)
- DFA与NFA识别能力相同,故二者可以相互转化
等价性证明略
NFA
DFA
初始状态
不唯一
唯一
弧上的标记
字(单字符字、)
字符
转换关系
非确定
确定
子集法
NFA确定化--子集法
- 设I是的状态集的一个子集,定义I的-闭包-closure(I)为:
- 若s I,则se-closure(I);
- 若sI,则从s出发经过任意条弧而能到达的任何状态s’都属于-closure(I) 即,
-closure(I)=I {s’ | 从某个s I出发经过任意条弧能到达s’}