正则表达式
1 基本概念
1.1 正则
正则表达式是语法，正则语言是语义
def（正则表达式）：
给定字母表 Σ, Σ 上的正则表达式由且仅由以下规则定义:
-
ϵ 是正则表达式;
-
∀a ∈ Σ, a 是正则表达式;
-
如果 r 是正则表达式, 则 (r) 是正则表达式;
-
如果 r 与 s 是正则表达式, 则 r|s, rs, r∗ 也是正则表达式。
运算优先级: () ≻ ∗ ≻ 连接 ≻ |
def（正则表达式对应的语言）：
L(ϵ) = {ϵ}
L(a) = {a}, ∀a ∈ Σ
L((r)) = L(r)
- L(r|s) = L(r)∪L(s)
- L(rs) = L(r)L(s)
- L(r∗) = (L(r))∗
1.2 自动机
两大要素：
- 状态集S
- 状态转移函数δ
1.3 NFA
Nondeteministic Finite Automaton，非确定自动状态机
A 是一个五元组 A = (Σ, S, s0, δ, F):
-
字母表 Σ (ϵ !∈ Σ)
-
有穷的状态集合 S
-
唯一的初始状态 s0 ∈ S
-
状态转移函数 δ
δ : S × (Σ ∪ {ϵ}) → 2S
-
接受状态集合 F ⊆ S
A 定义了一种语言 L(A): 它能接受的所有字符串构成的集合
约定：所有没有对应出边的字符默认指向一个不存在的 “空状态” ∅
关于自动机的两个问题：
- 给定字符串x，x是否属于L(A)
- L(A)究竟是什么
1.4 DFA
Deterministic Finite Automaton，确定性有穷自动机
A 是一个五元组 A = (Σ, S, s0, δ, F):
-
字母表 Σ (ϵ !∈ Σ)
-
有穷的状态集合 S
-
唯一的初始状态 s0 ∈ S
-
状态转移函数 δ
δ : S × Σ → S
-
接受状态集合 F ⊆ S
约定: 所有没有对应出边的字符默认指向一个不存在的 “死状态”
NFA vs DFA
- 对于字母表中的每个符号，DFA中的每个状态都有且只有一条关于这个符号的出边（exiting transition）。NFA则未必，在同一个状态上可能有零条、一条甚至多条关于某一个符号的出边。
- DFA的转换箭头上的标签必须是字母表中的，但NFA可以有标识为ϵ的边，NFA的状态可能有零条、一条甚至多条ϵ边。
1.5 下文将介绍的
2 RE到NFA：Tompson构造法
2.1 从正则表达式的定义出发
回顾一下正则表达式的递归定义：def（正则表达式）：
给定字母表 Σ, Σ 上的正则表达式由且仅由以下规则定义:
- ϵ 是正则表达式;
- ∀a ∈ Σ, a 是正则表达式;
- 如果 r 是正则表达式, 则 (r) 是正则表达式;
- 如果 r 与 s 是正则表达式, 则 r|s, rs, r∗ 也是正则表达式。
2.2 Tompson构造法
Tompson构造法就是从这四条规则出发，定义了四个基本状态
-
ϵ 是正则表达式
-
a ∈ Σ 是正则表达式
-
如果 s 是正则表达式, 则 (s) 是正则表达式
没什么好说的
-
如果 s, t 是正则表达式, 则 s|t 是正则表达式
-
如果 s, t 是正则表达式, 则 st 是正则表达式
-
如果 r, s 是正则表达式, 则r∗ 也是正则表达式
2.3 例题一则
3 NFA到DFA：子集构造法
思想：用DFA模拟NFA
3.1 子集构造法
构造出的DFA，只要包含的NFA状态中有NFA接受状态，则该DFA状态为DFA接受状态
3.2 例子一则
NFA如2.3
4 DFA最小化
DFA最小化算法的基本思想：等价的状态可以合并
4.1 如何定义等价状态
最小化的直接想法就是，如果状态等价，就将其合并
问题在于：如何定义等价状态？
-
尝试1：
这个定义是错误的，有时过于紧，有时过于松，反例如下：
A ∼ C ∼ E 但是, 接受状态与非接受状态必定不等价
-
尝试2：
√
4.2 从何下手
这个定义是递归的，该从何下手？
——反其道而行之，划分，而非合并！
4.3 流程
4.4 例子一则
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，我们直接从一个例子入手：
注：这里的操作顺序不唯一
因为接受状态和非接受状态必定不等价，定义Π0 = {F, S \ F}
因此，合并AC
5 DFA到RE：Kleene构造法
- 字符串 x 对应于有向图中的路径
- 求有向图中所有 (从初始状态到接受状态的) 路径
- 但是, 如果有向图中含有环, 则存在无穷多条路径
- 不要怕, 我们有 Kleene 闭包
5.1 思想
思想上类似于floyed-warshell算法
Q的初始化：
5.2 算法
5.3 例子一则
-
init
-
step0
-
step1
-
step2