除自身以外数组的乘积

题目描述

给你一个长度为 n 的整数数组 nums，其中 n > 1，返回输出数组 output ，其中 output[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。

示例

输入: [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]

提示：题目数据保证数组之中任意元素的全部前缀元素和后缀（甚至是整个数组）的乘积都在 32 位整数范围内。

说明: 请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

题解

这道题很好理解，output[i]中存储的数字是nums中下标除了i之外的所有数的乘积，最简单的处理方式是进行两次遍历，但这样的话时间复杂度为\(O(n^{2})\)，这样会超时。

左右乘积列表

由于时间复杂度要控制为\(O(n^{2})\)，所以程序中不能出现循环嵌套。再看提示
除自身以外数组的乘积是指，该数字在数组中的前缀元素和后缀元素之和，所以可以先对对应数字的前缀以及后缀进行求乘积，之后再将该数字的前缀和后缀相乘，这样程序就是3个线性的循环

算法：

1. 初始化两个空数组 L 和 R。对于给定索引i，L[i] 代表的是 i 左侧所有数字的乘积，R[i] 代表的是 i 右侧所有数字的乘积。
2. 用两个循环来对L和R进行求解，对于数组L,L[0]就是1，因为第一个元素没有前缀，而L中其他的元素为 L[i]=L[i-1]*nums[i-1]。
3. 同理，对应数组 R，R[length-1]应该为1，其他元素为R[i]=R[i+1]*nums[i+1]。
4. L和R数组全部求解完成后，output[i]=L[i]*R[i]。

class Solution {
public:
   vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
       int n = nums.size();
       vector<int> L(n,0), R(n,0),ans;
       L[0]=1;
       R[n-1]=1;
       for(int i = 1;i<n;i++){
           L[i] = L[i-1]*nums[i-1];
       }
       for(int i=n-2;i>=0;i--){
           R[i]=R[i+1]*nums[i+1];
       }
       for(int i=0;i<n;i++){
           ans.push_back(L[i]*R[i]);
       }
       return ans;
   }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N)\),其中\(N\)指的是数组nums的大小，计算L和R数组以及最后的遍历计算都是\(O(N)\)的时间复杂度；
• 空间复杂度：\(O(N)\),其中\(N\)指的是数组nums的大小，使用L和R数组构造最后的前缀和后缀，L和R的长度都是nums的大小

进阶

你可以在常数空间复杂度内完成这个题目吗？（ 出于对空间复杂度分析的目的，输出数组不被视为额外空间。）

若是将空间复杂度控制在\(O(1)\)那么要用另一种方法替换L和R数组的任务，其中输出数组不被视为额外空间，而且输出数组必须要声明使用，所有可以将前缀或是后缀预处理存储在输出数组中，无论第一个循环是先预处理前缀还是后缀，下一个循环在求解出另一个因数可顺便得出输出结果。

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        vector<int> output;
        int n = nums.size();
        output.push_back(1);
        int ans = 1;
        for(int i = 1 ; i<n;i++){
            output.push_back(output[i-1]*nums[i-1]);
        }
         
        for(int j =n-2 ; j>=0;j--){
            ans*=nums[j+1];
            output[j] = output[j]*ans;
        }
        
        return output;
    }
};