77. 组合
问题描述
给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
解题思路
解法一：
一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不再重复取。
第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
「每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围」。
「可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度」。
「图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果」。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
递归三部曲：
递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 vector<int> path; // 用来存放符合条件结果其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
为什么要有这个startIndex呢？
「每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex」。
所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。
那么整体代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果 void backtracking(int n, int k, int startIndex)
回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
所以终止条件代码如下：
if (path.size() == k) { result.push_back(path); return; }
单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历 path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始 path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点 }可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
解法二：
回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
在遍历的过程中有如下代码：
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { path.push_back(i); backtracking(n, k, i + 1); path.pop_back(); }这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？
举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。
这么说有点抽象，如图所示：
图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。
「所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置」。
「如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了」。
注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {接下来看一下优化过程如下：
已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
所以优化之后的for循环是：
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置
Java解法
解法一：
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
backTrance(n,k,1);
return res;
}
public void backTrance(int n,int k,int ind){
if(tmp.size()==k) {
res.add(new ArrayList(tmp));
return;
}
for(int i=ind;i<=n;i++){
tmp.add(i);
backTrance(n,k,i+1);
tmp.remove(tmp.indexOf(i));
}
}
}解法二：
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
backTrance(n,k,1);
return res;
}
public void backTrance(int n,int k,int ind){
if(tmp.size()==k) {
res.add(new ArrayList(tmp));
return;
}
for(int i=ind;i<=(n-(k-tmp.size())+1);i++){
tmp.add(i);
backTrance(n,k,i+1);
tmp.remove(tmp.indexOf(i));
}
}
}