决策树是一种类似于流程图的树结构，其中，每个内部节点(非树叶节点)表示一个属性上的测试，每个分枝代表该测试的一个输出，而每个树叶节点(或终端节点存放一个类标号)。树的最顶层节点是根节点。下图是一个典型的决策树(来自《数据挖掘：概念与技术》[韩家炜]（中文第三版）第八章)：
在构造决策树时，使用属性选择度量来选择将元祖划分成不同类的属性。这里我们介绍三种常用的属性选择度量-----信息增益、信息增益率和基尼指数。这里使用的符号如下。设数据分区\(S\)为标记类元组的训练集。假设类标号属性具有\(m\)个不同的值，定义了\(m\)个不同的类\(C_i (i=1,2,...,m)\)。设\(C_{i,S}\)是\(S\)中\(C_i\)类元祖的集合，\(|S|\)和\(|C_{i,S}|\)分别是\(S\)和\(C_{i,S}\)中元祖的个数。
上面决策树的源数据如下表，我们将以此数据说明ID3、C4.5、C5.0、CART这几种算法。
我们先解释一下这张表，表中有14条实例数据，就是我们的训练数据，其中 age,income,student,credit_rating称作条件属性，Class:buys_computer 称作是决策属性(标签)。每一个属性都有各自的值记做：Value(age)={youth,middle,senior}，Value(income)={high,medium,low}，Value(student)={no,yes}，Value(credit_rating)={excellent,fair}，Value(Class:buys_computer)={no,yes}。
1.熵(entropy)
在说明决策树算法之前，先提出一个重要的概念：熵(entropy)。
有时\(Info(S)\)也直接写作\(Entropy(S)\)。以上表中数据说明此概念：我们数一下决策属性Class:buys_computer，一共有两个类别：Yes，No。Yes的实例数是 9，No的实例数是 5。计算决策属性的熵(Entropy):
这里的决策属性S的值只有两个值（Yes,No），当然可以有多个值(s1,s2,s3,...,sk)，这些决策属性的值的概率分别为：p1,p2,p3,...,pk。
2.信息增益
ID3使用信息增益作为属性选择度量。设节点\(N\)代表或存放分区\(S\)的元祖。选择具有最高信息增益的属性作为结点\(N\)的分裂属性。
我们只拿age条件属性举例，其他的属性一样：
Value(age)={youth,middle,senior}
age是youth的实例数为5（其中Yes的个数为2，No的个数为3），占总的实例数为5/14，那么针对youth的Entropy,
age是middle的实例数为4（其中Yes的个数为4，No的个数为0），占总的实例数为4/14，那么针对middle的Entropy，
age是senior的实例数为5（其中Yes的个数为3,No的个数为2），占总的实例数为5/14，那么针对senior的Entropy，
那么最后针对age条件属性的信息增益(information gain)为：
所以针对某一条件属性的信息增益(information gain)为：
那么其他三个条件属性income,student,credit_rating的信息增益为：
我们看到age的信息增益是最大的，所以作为决策树的一个根节点。我们不断地重复上面的步骤，会得到一个决策树。至此，我们完成了对ID3算法思想的描述。
ID3算法有几个缺点：
- 对于具有很多值的属性它是非常敏感的，例如，如果我们数据集中的某个属性值对不同的样本基本上是不相同的，甚至更极端点，对于每个样本都是唯一的，如果我们用这个属性来划分数据集，它会得到很大的信息增益，但是，这样的结果并不是我们想要的。
- ID3算法不能处理具有连续值的属性。
- ID3算法不能处理属性具有缺失值的样本。
- 由于按照上面的算法会生成很深的树，所有容易产生过拟合现象。
下面，引入更加强大的C4.5算法，它可以解决上面的问题。
3.C4.5算法
C4.5算法，能够处理属性是连续型的。而且，在C4.5算法中，又提出了两个新的概念：
分离信息（Split Information）和信息增益率（Information gain ratio）
首先，给出分离信息的计算方法,数学符号表达式为：
解释为：数据集通过条件属性A的分离信息。上面一个例子，数据集通过age这个条件属性的分离信息，age有三个属性值分别为：youth,middle,senior，它们各占5,4,5，所以：
再次，给出信息增益率的公式：
上面这个例子如：数据集S针对age的信息增益率，
分子和分母这两个值都已经求出来，选择信息增益率最大的那个属性，作为节点。
4.C5.0和CART算法
C5.0是一个商业软件，对于公众是不可得到的。它是在C4.5算法做了一些改进，具体请参考：C5.0算法改进
C5.0主要增加了对Boosting的支持，它同时也用更少地内存。它与C4.5算法相比，它构建了更小地规则集，因此它更加准确。
CART (Classification and Regression Trees)与C4.5算法是非常相似的，但是CART支持预测连续的值（回归）。CART构建二叉树，而C4.5则不一定。
CART用训练集和交叉验证集不断地评估决策树的性能来修剪决策树，从而使训练误差和测试误差达到一个很好地平衡点。
scikit-learn的实现为CART算法的最优版本，详细文档请参考：scikit-learn实现CART
待续~