题目大意

​　　给你一棵树，求有多少个组点满足\(x\neq y,x\neq z,y\neq z,dist_{x,y}=dist_{x,z}=dist_{y,z}\)

​　　\(1\leq n\leq 100000\)

题解

​　　问题转换为有多少个组点满足\(dist_{i,x}=dist_{i,y}=dist_{i,z}\)

​　　我们考虑树形DP

​　　\(f_{i,j}=\)以\(i\)为根的子树中与\(i\)的距离为\(j\)的节点数

​　　\(g_{i,j}=\)以\(i\)为根的子树外选择一个点\(s\)满足\(s\)到\(i\)的距离为\(j\)，能新增的的方案数

​　　若\(v\)是\(u\)的重儿子，则：\(f_{u,j}+=f_{v,j-1},g_{u,j}+=g_{v,j+1}\)，这样就可以由\(u\)的重儿子转移到\(u\)

​　　否则：\(g_{u,j}+=g_{v,{j+1}}+f_{v,j-1}\times f_{u,j},f_{u,j}+=f_{v,j-1}\)

​　　答案为\(\sum f_{x,j}\times g_{y,j}\)，其中\(x\)是\(y\)的兄弟

​　　可以用长链剖分辅助转移

​　　时间复杂度：\(O(n)\)

​　　gjs大爷的长链剖分讲解

代码

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cstdlib>

#include<ctime>

#include<utility>

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef pair<int,int> pii;

struct list

{

	int v[200010];

	int t[200010];

	int h[100010];

	int n;

	void clear()

	{

		n=0;

		memset(h,0,sizeof h);

	}

	void add(int x,int y)

	{

		n++;

		v[n]=y;

		t[n]=h[x];

		h[x]=n;

	}

};

list l;

ll ans;

ll f[100010];

ll g[200010];

int d[100010];

int bg[100010];

int ed[100010];

int ch[100010];

int t[100010];

int w[100010];

int ti;

void dfs(int x,int fa)

{

	d[x]=1;

	ch[x]=0;

	int i;

	for(i=l.h[x];i;i=l.t[i])

		if(l.v[i]!=fa)

		{

			dfs(l.v[i],x);

			if(d[l.v[i]]+1>d[x])

			{

				d[x]=d[l.v[i]]+1;

				ch[x]=l.v[i];

			}

		}

}

void dfs2(int x,int fa,int top)

{

	t[x]=top;

	w[x]=++ti;

	if(x==top)

		bg[top]=ti;

	ed[top]=ti;

	if(ch[x])

		dfs2(ch[x],x,top);

	int i;

	for(i=l.h[x];i;i=l.t[i])

		if(l.v[i]!=ch[x]&&l.v[i]!=fa)

			dfs2(l.v[i],x,l.v[i]);

}

ll& getf(int x,int y)

{

	return f[w[x]+y];

}

ll& getg(int x,int y)

{

	return g[2*(w[t[x]]-1)+2*d[t[x]]-d[x]+1-y];

}

void solve(int x,int fa)

{

	if(ch[x])

		solve(ch[x],x);

	int i,j;

	for(i=l.h[x];i;i=l.t[i])

		if(l.v[i]!=fa&&l.v[i]!=ch[x])

		{

			int v=l.v[i];

			solve(v,x);

			for(j=0;j<d[v];j++)

				ans+=getf(v,j)*getg(x,j+1);

			for(j=1;j<d[v];j++)

				ans+=getg(v,j)*getf(x,j-1);

			for(j=0;j<d[v];j++)

				getg(x,j+1)+=getf(v,j)*getf(x,j+1);

			for(j=1;j<d[v];j++)

				getg(x,j-1)+=getg(v,j);

			for(j=0;j<d[v];j++)

				getf(x,j+1)+=getf(v,j);

		}

	ans+=getg(x,0);

	getf(x,0)++;

}

int main()

{

	int n;

	scanf("%d",&n);

	l.clear();

	memset(bg,0,sizeof bg);

	memset(ed,0,sizeof ed);

	memset(f,0,sizeof f);

	memset(g,0,sizeof g);

	memset(d,0,sizeof d);

	memset(ch,0,sizeof ch);

	memset(t,0,sizeof t);

	memset(w,0,sizeof w);

	ans=0;

	ti=0;

	int i,x,y;

	for(i=1;i<n;i++)

	{

		scanf("%d%d",&x,&y);

		l.add(x,y);

		l.add(y,x);

	}

	dfs(1,0);

	dfs2(1,0,1);

	solve(1,0);

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}