正睿OI国庆day1

正睿OI国庆day1

T1

\[ S_n=1*S_{n-1}+1*F_{n-1}+1*F_{n-2}+1*f_{n-1}+1*f_{n-2} \]

\[ F_{n}=0*S_{n-1}+1*F_{n-1}+1*F_{n-2}+1*f_{n-1}+1*f_{n-2} \]

\[ F_{n-1}=0*S_{n-1}+1*F_{n-1}+0*F_{n-2}+0*f_{n-1}+0*f_{n-2} \]

\[ f_n=0*S_{n-1}+0*F_{n-1}+0*F_{n-2}+1*f_{n-1}+1*f_{n-2} \]

\[ f_{n-1}=0*S_{n-1}+0*F_{n-1}+0*F_{n-2}+1*f_{n-1}+0*f_{n-2} \]

矩阵:(要竖过来)

\(1 1 1 1 1\)

\(0 1 1 1 1\)

\(0 1 0 0 0\)

\(0 0 0 1 1\)

\(0 0 0 1 0\)

矩阵乘法O(logn)求得

好像可以生成函数搞,晚上学一下

\(f'n=\frac{x}{1-x-x^2}\)

\(F'x=f'^2x\)

\(G'x=F'x\frac{1}{1-x}\)

其中\('\)是上尖号

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
ll read(){
    ll x=0,pos=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') pos=0;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return pos?x:-x;
} 
ll n;
struct node{
    ll g[5][5];
}ori,f1,f2;
const ll mod=998244353;
node mul(node a,node b){
    node c;memset(c.g,0,sizeof(c.g));
    for(int i=0;i<=4;i++){
        for(int j=0;j<=4;j++){
            for(int k=0;k<=4;k++){
                c.g[i][j]=(c.g[i][j]+(a.g[i][k]*b.g[k][j])%mod);
                if(c.g[i][j]>=mod) c.g[i][j]-=mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
node ksm(node a,ll b){
    node res=ori;
    while(b){
        if(b&1){
            res=mul(res,a);
        }
        b>>=1;
        a=mul(a,a);
    }
    return res;
}
int main(){
    n=read();n++;
    if(n==1){
        printf("1");
        return 0;
    }
    if(n==2){
        printf("3");
        return 0;
    }
    memset(ori.g,0,sizeof(ori.g));
    ori.g[0][0]=1;
    ori.g[1][1]=1;
    ori.g[2][2]=1;
    ori.g[3][3]=1;
    ori.g[4][4]=1;
    ori.g[5][5]=1;
    memset(f1.g,0,sizeof(f1.g));
    f1.g[0][0]=1;
    f1.g[1][0]=1;
    f1.g[1][1]=1;
    f1.g[1][2]=1;
    f1.g[2][0]=1;
    f1.g[2][1]=1;
    f1.g[3][0]=1;
    f1.g[3][1]=1;
    f1.g[3][3]=1;
    f1.g[3][4]=1;
    f1.g[4][0]=1;
    f1.g[4][1]=1;
    f1.g[4][3]=1;
    node s=ksm(f1,n-2);
    printf("%lld",(s.g[0][0]*3%mod+s.g[1][0]*2%mod+s.g[2][0]+s.g[3][0]+s.g[4][0])%mod);
    return 0;
}

T2

考虑换根的时候一部分答案不变

处理最大值和次大值

dfs更新答案就行了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
int read(){
    int x=0,pos=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') pos=0;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return pos?x:-x;
} 
const int N = 200001;
int f[N][20];
struct node{
    int v,nex,w;
}edge[N];
int head[N],top=1,n,m,dep[N],c[N],cnt[N],fa[N];
ll ans[N],g[N][2],tot;
inline void add(int u,int v){
    edge[++top].v=v;
    edge[top].nex=head[u];
    head[u]=top;
}
void dfs1(int now,int pre){
    f[now][0]=pre;
    dep[now]=dep[pre]+1;
    for(int i=1;i<=18;i++){
        f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];
    }
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){
        int v=edge[i].v;
        if(v!=f[now][0]) dfs1(v,now);
    }
}
int get_lca(int u,int v){
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    for(int i=18;i>=0;i--){
        if(dep[f[u][i]]>=dep[v]) u=f[u][i];
    }
    if(u==v) return u;
    for(int i=18;i>=0;i--){
        if(f[u][i]!=f[v][i]) u=f[u][i],v=f[v][i];
    }
    return f[u][0];
}
void dfs2(int now){
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){
        int v=edge[i].v;
        if(v!=f[now][0]){
            dfs2(v);
            cnt[now]+=cnt[v];
            if(cnt[v]>=g[now][0]){
                g[now][1]=g[now][0];
                g[now][0]=cnt[v];
            }else if(cnt[v]>g[now][1]){
                g[now][1]=cnt[v];
            }
            ans[1]+=cnt[v];
        }
    }
    cnt[now]+=c[now];
    ans[1]-=g[now][0];
}
long long re=0;
void dfs3(int now){
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){
        int v=edge[i].v;
        if(v==f[now][0]) continue;
        ans[v]=ans[now];
        if(cnt[v]==g[now][0]){
            ans[v]+=(g[now][0]-g[now][1]);
        }
        if(cnt[v]>g[v][0]){
            ans[v]-=(cnt[v]-g[v][0]);g[v][1]=g[v][0];g[v][0]=cnt[v];
        }else if(cnt[v]>g[v][1]) g[v][1]=cnt[v];
        dfs3(v);
    }
    re=min(re,ans[now]);
}
int main(){
    re=19280817000000ll;
    n=read(),m=read();
    for(int i=1,u,v;i<n;i++){
        u=read(),v=read();
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    dfs1(1,0);
    for(int u,v,i=1;i<=m;i++){
        u=read(),v=read();
        int lca=get_lca(u,v);
        c[u]++;c[v]++;c[lca]-=2;
    }
    dfs2(1);
    dfs3(1);
    printf("%lld",re);
    return 0;
}

T3

\(f(i,S,M) ---- f(i+1,S+1,max(M,g(a_i,b_i)))\)

转移过程是获胜事件的发生概率

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