\(\rm{0x01\quad Preface}\)

\(emmm\)严格来讲，不应该被算到一个模板里面。因为在我看来模板是人构造出来的，但是这个算法应该是一个解决问题的\(process\)…更像是在解一道数学题，如果\(BSGS\)是定理的话，\(exBSGS\)更像是一个不断转化的过程233（手动@lxa并且溜

\(\rm{0x02\quad Algorithm~Process}\)

今天才发现原来\(\rm{BSGS}\)有两种写法……并且觉得剩下的题解讲的都讲的不是很全的样子233。

其实本质上，当\(p\)不为素数时，我们无法进行朴素\(\rm{BSGS}\)的原因是我们的欧拉定理\(a^{\varphi(p)} \equiv b(\bmod p)\) 只能处理\((a,p)=1\)的情况。那么我们知道，朴素的\(\rm{BSGS}\)的关键在于，可以保证最小解是有界的——\(x\)一定在\([1,\varphi(p)]\)中。所以最后\(BSGS\)的复杂度才会是\(\Theta(\sqrt{\varphi(p)})\) 的——比如说比较常见的\(p\)是素数的情况下，时间复杂度为\(\Theta(p)\)。

那么也就是说，我们只需要进行一些操作，保证$(a,p)=1 \(即可\)^{[1]}$。

我们思考，对于同余式\(a^x\equiv b~(\bmod p)​\)而言，我们先假定\((a,p)>1 ​\)。而此时如果有\(((a,p), b)=1​\)，那么说明此式只有可能在\(x=0,b=1 ​\)的时候有解——这个结论是平凡的。因为假设我们把它展开成\(a\cdot a^{x-1} +kp=b ​\)的形式，必须要有\((a,p) ~|~ b​\)的情况下，才能保证\(a^{x-1}​\)和\(k ​\)都是整数。

那么对于\((a,p)>1\)且$(a,p)~|~b $，我们令原式变成

\[ a^{x-1}\cdot \frac{a}{(a,p)} \equiv \frac{b}{(a,p)} (\bmod \frac{p}{(a,p)}) \]
的样子，如果此时\((a^{x-1},\frac{p}{(a,p)})=1\) 的话，我们就直接解

\[ a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} }(\bmod \frac{p}{(a,p)}) \]
这个方程即可。否则我们继续分解直至\((p',a)=1\)。

那么此时有个问题需要注意，就是如果们在解这个方程时，出现了

\[ (a^{x-1}, \frac{p}{(a,p)})\nmid \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } \]
的情况，那我们需要特判并return -1 ；另一种情况，如果我们出现了

\[ a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } \equiv1(\bmod \frac{p}{(a,p)}) \]
的情况，也需要特判并输出此\(k\)（此时同余式左边是\(a^{x-k}\)，因为\(a^{x-k}\equiv1~(\bmod p)\)所以直接输出\(k\)），不过也有可能不需要，完全看你写的\(BSGS\)能不能判断\(x=0\)的情况……一般情况下不能。

此时由于\(\boldsymbol{p}\)不再是素数，所以不能用费马小定理，需要我们用\(exgcd\)的方法求逆元，包括但不限于\(\frac{b}{(a,p)}\)的逆元和\(a^{-im}\)。

以下是完整版代码：

#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <unordered_map>

#define ll long long

using namespace std ; 
unordered_map<ll, int> H ;
int N, M, P, ans ; // N ^x = M (mod P)

inline ll gcd(ll a, ll b){
    if (!b) return a ;
    return gcd(b, a % b) ;
}
inline ll expow(ll a, ll b, ll mod){
    ll res = 1 ;
    while (b) res = ((b & 1)?res * a % mod : res), a = a * a % mod, b >>= 1 ;
    return res ;
}
inline ll exgcd(ll &x, ll &y, ll a, ll b){
    if (!b){ x = 1, y = 0 ; return a ; }
    ll t = exgcd(y, x, b, a % b) ; y -= x * (a / b) ; return t ;
}
inline ll BSGS(ll a, ll b, ll mod, ll qaq){
    H.clear() ; ll Q, p = ceil(sqrt(mod)), x, y ; 
    exgcd(x, y, qaq, mod), b = (b * x % mod + mod) % mod, 
    Q = expow(a, p, mod), exgcd(x, y, Q, mod), Q = (x % mod + mod) % mod ;
    for (ll i = 1, j = 0 ; j <= p ; ++ j, i = i * a % mod)  if (!H.count(i)) H[i] = j ;
    for (ll i = b, j = 0 ; j <= p ; ++ j, i = i * Q % mod)  if (H[i]) return j * p + H[i] ; return -1 ;
}
inline ll exBSGS(){
    ll qaq = 1 ;
    ll k = 0, qwq = 1 ; 
    if (M == 1) return 0 ; 
    while ((qwq = gcd(N, P)) > 1){
        if (M % qwq) return -1 ;
        ++ k, M /= qwq, P /= qwq, qaq = qaq * (N / qwq) % P ;
        if (qaq == M) return k ;
    }
    return (qwq = BSGS(N, M, P, qaq)) == -1 ? -1 : qwq + k ;
}                    
int main(){
    while(cin >> N){
        scanf("%d%d", &P, &M); if (!N && !M && !P) return 0 ;
        N %= P, M %= P, ans = exBSGS() ; if (ans < 0) puts("No Solution") ; else cout << ans << '\n' ;
    }
}

\(\rm{0x03\quad Afterword}\)

今天才知道原来\(BSGS\)有两种写法qaq

\(zyf2000\)好像和我写的\(BSGS\)对“大步”和“小步”的定义不是很一样…于是最后还是自己\(\rm{yy}\)的233

\(\rm{Reference}\)

• \([1]\) :\(zyf2000\)的\(blog\) \(^{^{[\nearrow ]}}\)