4777: 方格取数 

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Description

 

 

设有N*N的方格图(N<=10,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）：

 

某人从图的左上角的A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

 

 

 

Input

 

 

输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

 

 

Output

 

 

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

 

 

Sample Input 

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

Sample Output

67 

我觉得大家第一反应应该都是做一次DP之后再做一次，但是这是在贪心，这次走完最大值的路径下次就不走了

所以其实要一起考虑，算法复杂度是n^3，它是有四个点的，包括前一次经过的点，而且步数的几个点是确定的，在一条斜线上

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define max4(a, b, c, d) max(max(a, b), max(c, d))
int dp[21][11][11];
int a[11][11];
int main()
{
    int n, x, y, z;
    scanf("%d", &n);
    while (~scanf("%d%d%d", &x, &y, &z) && (x || y || z))a[x][y] = z;
    for (int k = 1; k < n * 2; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (i > k || j > k || k - j + 1 > n || k - i + 1 > n)continue;
                dp[k][i][j] = max4(dp[k - 1][i][j], dp[k - 1][i - 1][j], dp[k - 1][i][j - 1], dp[k - 1][i - 1][j - 1]);
                dp[k][i][j] += a[k - j + 1][j];
                if (i != j)dp[k][i][j] += a[k - i + 1][i];
            }
    cout << dp[n * 2 - 1][n][n];
    return 0;
}

升级版的k步，需要使用最大流求解

首先拆点，将一个点拆成x和y，然后从x到y连一条容量为1，流量为x的边

然后再连一条容量为inf，费用为0的边

这样即可保证一个点可以走多次，而数只能取一次。然后连接a和b时，从a的y向b的x连一条容量为inf，费用为0的边。最后跑最大费用最大流即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 5;
const int M = 1e5 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int FIR[N], TO[M], CAP[M], FLOW[M], COST[M], NEXT[M], tote;
int pre[N], dist[N], q[400000];
bool vis[N];
int n, k, S, T;
void init()
{
    tote = 0;
    memset(FIR, -1, sizeof(FIR));
}
void add(int u, int v, int cap, int cost)
{
    TO[tote] = v;
    CAP[tote] = cap;
    FLOW[tote] = 0;
    COST[tote] = cost;
    NEXT[tote] = FIR[u];
    FIR[u] = tote++;

    TO[tote] = u;
    CAP[tote] = 0;
    FLOW[tote] = 0;
    COST[tote] = -cost;
    NEXT[tote] = FIR[v];
    FIR[v] = tote++;
}
bool SPFA(int s, int t)
{
    memset(dist, INF, sizeof(dist));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    memset(pre, -1, sizeof(pre));
    dist[s] = 0;
    vis[s] = true;
    q[1] = s;
    int head = 0, tail = 1;
    while (head != tail)
    {
        int u = q[++head];
        vis[u] = false;
        for (int v = FIR[u]; v != -1; v = NEXT[v])
        {
            if (dist[TO[v]] > dist[u] + COST[v] && CAP[v] > FLOW[v])
            {
                dist[TO[v]] = dist[u] + COST[v];
                pre[TO[v]] = v;
                if (!vis[TO[v]])
                {
                    vis[TO[v]] = true;
                    q[++tail] = TO[v];
                }
            }
        }
    }
    return pre[t] != -1;
}
void MCMF(int s, int t, int &cost, int &flow)
{
    flow = cost = 0;
    while (SPFA(s, t))
    {
        int Min = INF;
        for (int v = pre[t]; v != -1; v = pre[TO[v ^ 1]])
            Min = min(Min, CAP[v] - FLOW[v]);
        for (int v = pre[t]; v != -1; v = pre[TO[v ^ 1]])
        {
            FLOW[v] += Min;
            FLOW[v ^ 1] -= Min;
            cost += COST[v] * Min;
        }
        flow += Min;
    }
}
int main()
{
    int ca;
    cin>>ca;
    while(ca--)
    {
        init();
        cin >> n >> k;
        S = 0;
        T = n * n * 2 + 1;
        int ff=n*n;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1, x; j <= n; j++)
        {
            cin>>x;
            int a=(i-1)*n+j,b=a+1,c=a+n;
            add(a,ff+a,INF,0),add(a,ff+a,1,-x);
            if(j<n)add(ff+a,b,INF,0);
            if(i<n)add(ff+a,c,INF,0);
        }
        add(S, 1, k, 0);
        add(T - 1, T, k, 0);
        int cost, flow;
        MCMF(S, T, cost, flow);
        printf("%d\n", -cost);
    }
    return 0;
}