题目

\(N\)个位置，每个位置要么不选，要么选\([ a_i, b_i ]\)中的一个数；

问最后的单调上升序列(mod 1e9+7)有多少种；

\(1 \le N \le 500\)

题解

• orz abclzr

• 直接\(dp\)最后一位是什么数字的话只能得到31分

• 将数字离散化分段，第\(i\)段为\([l_i,r_i)\)，设\(f_{i,j}\)表示第i个位置选的数字在第j段的方案数(第0段表示没有)
  \[ f_{i,j} \ = \sum_{k=0}^{i-1} \sum_{l=0}^{j-1} f_{k,l} \times cal(k+1,i,j) \\ ans = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f_{i,j} \\ \]

• 其中$cal(l,r,x) \(表示\)[l,r)$都不选或者选在第j段并且单调上升的方案数

• 设 $ [ l,r) $ 这里面有 $ S $ 个包含x区间，x区间的长度为 $ L $　
  \[ cal(l,r,x) = \sum_{i=0}^{S}(^S_i)(^L_{i+1}) = \sum_{i=0}^{S}(^S_{S-i})(^L_{i+1}) \\ 思考组合意义：左边选S-i个再在右边选i+1个相当与一起选S+1个\\ cal(l,r,x) = (^{S+L}_{S+1}) \\ \]

• 前缀和优化dp即可：\(O(n^3)\)　　

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  using namespace std;
  const int N=1010,mod=1e9+7;
  int n,tot,sub[N],L[N],R[N],ny[N],l[N],f[N][N];
  void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
  int main(){
  //    freopen("boat.in","r",stdin);
  //    freopen("boat.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d%d",&L[i],&R[i]);
        sub[++tot]=L[i];
        sub[++tot]=++R[i];
    }
    sort(sub+1,sub+tot+1);
    tot=unique(sub+1,sub+tot+1)-sub-1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        L[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,L[i])-sub;
        R[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,R[i])-sub;
    }
    ny[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)ny[i]=(ll)(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
    for(int i=0;i<tot;++i)f[0][i]=1;
    for(int i=1;i<tot;++i)l[i]=sub[i+1]-sub[i];
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=L[i];j<R[i];++j){
            int C=l[j],a=l[j],b=1;
            for(int k=i-1;~k;--k){
                inc(f[i][j],(ll)f[k][j-1]*C%mod);
                if(L[k]<=j&&j<R[k])C=(ll)C*(++a)%mod*ny[++b]%mod;
            }
        }
        for(int j=1;j<tot;++j)inc(f[i][j],f[i][j-1]);
    }
    int ans=0;for(int i=1;i<=n;++i)inc(ans,f[i][tot-1]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
  }

  //菜兔兔写的部分分
  #include<bits/stdc++.h>
  #define pb push_back
  using namespace std;
  const int N=510,M=2000010,mod=1e9+7;
  int n,a[N],b[N],len[N],sub[M],tot;
  int f[M],g[M];
  void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
  int main(){
  //    freopen("boat.in","r",stdin);
  //    freopen("boat.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        for(int j=a[i];j<=b[i];++j)sub[++tot]=j;
    }
    sort(sub+1,sub+tot+1);
    tot=unique(sub+1,sub+tot+1)-sub-1;
    f[0]=1;for(int i=0;i<=tot;++i)g[i]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        a[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,a[i])-sub;
        b[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,b[i])-sub;
        for(int j=a[i];j<=b[i];++j)f[j]=g[j];
        for(int j=a[i];j<=tot;++j)inc(g[j]=f[j],g[j-1]);
    }
    cout<<g[tot]-1<<endl;
    return 0;
  }