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在这篇文章中，我使用 R 建立著名的Hull-White利率模型并进行仿真。
Hull and White（1994）模型解决Vasicek模型对利率的初始期限结构的拟合不佳的问题。该模型定义为：
Wt是风险中性框架下的维纳过程，模拟随机市场风险因素。σ是标准差参数，影响利率的波动，波动幅度有着瞬时随机流动的特征。参数b,a,σ和初始条件r0是完全动态的，并且瞬时变动。
该模型的另一种示形式是：
假定a是非负数：
b:长期平均水平。在长期水平下产生一系列r的轨道值。
a:回归速度。代表b的轨道值实时重组的速度。
σ：代表瞬时波动，测量每个时点随机因素进入系统的振幅。
以下是由公式导出的一些数值：
:长期方差。计算在长期所有r值围绕平均值重组的轨道值。
a与σ数值相反波动：增加σ会增加随机数进入系统的数量，
当a增加会使方差稳定，围绕长期平均值b以方差值波动。这在看长期方差时十分明显。 当方差值不变时，若σ增加,a减少。此模型是一个奥恩斯坦 - 乌伦贝克随机过程。
这些假设以及 对信贷/流动性风险的简单（并行）调整仍在保险中广泛使用 ，但在2007年次贷危机后被市场抛弃。
有关新的多曲线方法的更多详细信息，请参见例如 http://papers.***n.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2219548。在本文中，作者介绍了一个多曲线自举(bootstrap)过程。
＃清理工作区
rm(list=ls())
＃模拟的频率
freq <- "monthly"
delta_t <- 1/12＃数据
params <- list(tradeDate=as.Date('2002-2-15'),
settleDate=as.Date('2002-2-19'),
payFixed=TRUE,
dt=delta_t,
strike=.06,
method="HWAnalytic",
interpWhat="zero",
interpHow= "spline")＃构建利率期限结构的市场数据
＃存款和掉期
tsQuotes <- list(d1w =0.0382,
s2y = 0.037125,
s3y =0.0398,＃具有相应期限和期限的掉期波动率矩阵
swaptionMaturities <- c(1:5)
swapTenors <- c(1:5)
＃为掉期定价
pric <- Swaption(params, swaptionMaturities, swapTenors,
＃构建利率的即期期限结构
＃根据输入的市场数据
times <- seq(from = delta_t, to = 5, by = delta_t)
maturities <- curves$times
############## Hull-White短期利率模拟
＃模拟次数，频率
horizon <- 5
sims <- 10000＃校准Hull-White参数
a <- pricing$a
sigma <- pricing$sigma＃使用模拟高斯冲击
simshos(n = nb.sims, horizon = horizon )＃使用模拟因子x
＃我使用远期汇率。由于每月的频率较低，
＃我认为它们是瞬时远期汇率
fwdrates <- ts(replicate(nb.sims, curves$forwards),
start = start(x),
deltat = deltat(x))＃ α
alpha <- fwdrates + param.alpha＃短期利率
r <- x + alpha＃随机贴现因子（当前的数值积分是非常基本的）
＃由随机贴现因子得出的蒙特卡洛价格和零利率
montecarlozerorates <- -log(montecarloprices)/maturities ＃市场和蒙特卡洛价格之间的差异的置信区间
conf.int <- t(apply((Dt - marketprices)[-1, ], 1, function(x) t.test(x)$conf.int))
par(mfrow = c(2, 2))
＃短期利率分位数
＃蒙特卡洛vs市场零利率
plot(maturities, montecarlozerorates, type='l', col = 'blue', lwd = 3,
points(maturities, marketzerorates, col = 'red')＃蒙特卡洛vs市场零息价格
plot(maturities, montecarloprices, type ='l', col = 'blue', lwd = 3,
points(maturities, marketprices, col = 'red')＃价格差的置信区间
matplot(maturities[-1], conf.int, type = 'l'
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