此题是个非常经典的题目，这个题目包含了整数划分(一)和整数划分(二)的所有情形，而且还增加了其它的情形，主要是用递归或者说是递推式来解，只要找到了递推式剩下的任务就是找边界条件了，我觉得边界也是非常重要的一步，如果找不准边界，这个题也很难做出来，当时我就是找边界找了好长时间，边界得琢磨琢磨。递推步骤如下：
第一行:将n划分成若干正整数之和的划分数。
状态转移方程：dp[i][j]:和为i、最大数不超过j的拆分数
dp[i][j]可以分为两种情况：1、拆分项至少有一个j 2、拆分项一个j也没有
dp[i][j] = dp[i-j][[j] + dp[i][j-1]
第二行：将n划分成k个正整数之和的划分数。
dp[n-k][k]：相当于把k个1从n中拿出来，然后和n-k的拆分项相加的个数
第三行：将n划分成若干最大不超过k的正整数之和的划分数。
dp[n][k]
第四行：将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
dp1[i][j]是当前的划分数为i,最大值为j时的中的划分数，则状态转移方程为
if(i < j && j % 2 == 1)
dp1[i][j] = dp1[i][i]
if(i < j && j % 2 == 0) (最大数不可能为偶数)
dp1[i][j] = dp1[i][i-1]
划分数中有j时的划分为dp[i][j - 2]，因为它是奇数，所以要减2，
如果划分数中没有j的时候， 则它的数目可以写成dp1[i-j][j];意思就是i去掉j后，然后再划分最大为j的
即dp1[i][j] = dp1[i-j][j] + dp1[i][j-2]
第五行：将n划分成若干完全不同正整数之和的划分数。
dp2[i][j]可以分两种情况：1、dp1[i][j-1]为不选择j时的方案 2、dp1[i-j][j-1]为选择j时的方案
0-1背包：dp2[i][j] = dp2[i][j-1] + dp2[i-j][j-1]
方法一(递归法)：
#include <stdio.h>
//less_m(n, m)表示将n划分为最大是m的数
int less_m(int n, int m)
{
if(n == || m == )
return ;
if(n < m)
return less_m(n, n);
else if(n == m)
return + less_m(n, m - );
else
return less_m(n, m - ) + less_m(n - m, m);
}
//count(n, m)表示将n划分为m个数
int count(int n, int m)
{
if(n < m)
return ;
if(m == || n == m)
return ;
else
return count(n - , m - ) + count(n - m, m);
}
//odd(n, m)表示将n划分为最大数为m的奇数之和
int odd(int n, int m)
{
if(m == )
return ;
if(n == && m % == )
return ;
if(n == && m == )
return ;
if(n < m)
{
if(n % == )
return odd(n, n - );
else
return odd(n, n);
}
else
{
return odd(n - m, m) + odd(n, m - );
} }
//not_duplicate(n, m)是将n划分为最大为m的数， 并且没有重复的
int not_duplicate(int n, int m)
{
if(m == )
return ;
if(n == || n == )
return ;
if(n < m)
return not_duplicate(n, n);
else
return not_duplicate(n, m - ) + not_duplicate(n - m, m - );
} int main()
{
int n, k;
while(~scanf("%d %d", &n, &k))
{
printf("%d\n", less_m(n, n));
printf("%d\n", count(n, k));
printf("%d\n", less_m(n, k));
if(n % == )
printf("%d\n", odd(n, n));
else
printf("%d\n", odd(n, n - ));
printf("%d\n\n", not_duplicate(n, n));
} return ;
}
方法二(递推法dp):
#include <stdio.h>
const int MAX = ;
int dp[MAX][MAX], dp1[MAX][MAX], dp2[MAX][MAX];
void divide()
{
dp[][] = ;
for(int i = ; i < MAX; i++)
{
for(int j = ; j < MAX; j++)
{
if(i < j)
dp[i][j] = dp[i][i];
else
dp[i][j] = dp[i][j - ] + dp[i - j][j];
}
}
}
//这是划分奇数的函数
void divide1()
{
for(int i = ; i < MAX; i++)
dp1[i][] = ;
for(int i = ; i < MAX; i += )
dp1[][i] = ;
dp1[][] = ;
for(int i = ; i < MAX; i++)
{
for(int j = ; j < MAX; j += )
{
if(i < j)
{
if(i % == )
dp1[i][j] = dp1[i][i];
else
dp1[i][j] = dp1[i][i - ];
}
else
dp1[i][j] = dp1[i][j - ] + dp1[i - j][j];
}
}
}
//划分没有重复数字的函数
void divide2()
{
for(int i = ; i < MAX; i++)
dp2[][i] = dp2[][i] = ;
for(int i = ; i < MAX; i++)
{
for(int j = ; j < MAX; j++)
{
if(i < j)
dp2[i][j] = dp2[i][i];
else
dp2[i][j] = dp2[i][j - ] + dp2[i - j][j - ];
}
}
} int main()
{
int n, k;
divide();
divide1();
divide2();
while(~scanf("%d %d", &n, &k))
{
printf("%d\n", dp[n][n]);
printf("%d\n", dp[n - k][k]);
printf("%d\n", dp[n][k]);
//先要判断要划分的数是否是奇数
printf("%d\n", (n & ) ? dp1[n][n] : dp1[n][n - ]);
printf("%d\n\n", dp2[n][n]);
} }