【BZOJ2127】happiness（最小割）
题面
Description
高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。
Input
第一行两个正整数n，m。接下来是六个矩阵第一个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。第二个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。第三个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。第四个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。第五个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。第六个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
Output
输出一个整数，表示喜悦值总和的最大值
Sample Input
1 2
1 1
100 110
1
1000
Sample Output
1210
【样例说明】
两人都选理，则获得100+110+1000的喜悦值。
【数据规模】
对于100%以内的数据，n,m<=100 所有喜悦值均为小于等于5000的非负整数
题解
完全不会做
ZSY大佬太强啦！！！
他看了一眼，写了几笔就直接切掉了
太强啦！！！
回归正题
我们当然求最大的答案
自然就是先假设所有答案都能够算上
然后再减去最小的代价
最小的代价？？？---->最小割
抄袭ZSY大佬的方程
假设两个人\(x,y\)
他们一起选文科的获得的代价是\(u\)
一起选理科的代价是\(v\)
假设文科是\(S\),理科是\(T\)
所以，我们知道：
①\(x,y\)都选理科 代价：\(u\)
②\(x,y\)都选文科 代价：\(v\)
③\(x,y\)一文，一理 代价：\(u+v\)
考虑成流量的方程：
\((y,T)+(x,T)=u\)
\((S,x)+(S,y)=v\)
\((S,x)+(x,y)+(y,T)=u+v\)
\((S,y)+(y,x)+(x,T)=u+v\)
这样子肯定没法直接建图
所以我们随便找一组解出来
\((S,x)=(S,y)=\frac{u}{2}\)
\((x,T)=(y,T)=\frac{v}{2}\)
\((x,y)=(y,x)=\frac{u+v}{2}\)
这就是这几条边的流量
再算上直接与文科/理科割开的费用
就是最后要求的东西
但是这玩意带分数
会出现掉精度的情况
所以先把所有的东西全部乘以二
最后求出最大流之后再除二就行了
upd：2018.4.3
今天用自己的方式想一想
首先很明显的，源点和汇点分别对应着文科/理科
这要割开就会减去对应的贡献
考虑两个人之间的贡献，两个人如果不选择同一科目，他们之间的连边可定要割掉
现在的问题就是如果两个人一起选择了某个科目，此时文科和理科的贡献是不同的
假设两个人\(a,b\)，选择文理的贡献分别是\(Wa,Wb,La,Lb\)
两个人一起选择文科的贡献是\(U\),一起选择理科的贡献是\(V\)
假设他们之间的连边的流量是\(x\)，文科，理科（源点，汇点）到他们的边的流量是\(Sa,Sb,Ta,Tb\)
如果两个人一起选择了文科：
割开的是\(Ta,Tb\)
有：\(Ta+Tb=La+Lb+V\)
同理，一起选择理科的是\(Sa+Sb=Wa+Wb+U\)
如果两者一文一理，显然中间的边要隔开
所以有两个方程
\(Sa+x+Tb=U+V+Wa+Lb\)
\(Sb+x+Ta=U+V+Wb+La\)
其实，我们现在要找的就是对于任意两个人，他们的\(Sa,Sb,Ta,Tb,x\)的通解
因为每个人的\(Wa,Wb,La,Lb\)一定是有这样的单独的边的，
因此，可以把这几项给丢掉，剩下剩余的方程：
\(Ta+Tb=V\)
\(Sa+Sb=U\)
\(Sa+Tb+x=U+V\)
\(Sb+Ta+x=U+V\)
显然是五个未知数，\(4\)个方程
随便找一个可行的就可以了，
为了方便连边，我们可以取一个平均的连法
也就是
\(Sa=Sb=U/2\)
\(Ta=Tb=V/2\)
\(x=(U+V)/2\)
这样连边就行了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAXL 500000
#define MAX 50000
#define INF 1000000000
#define MAXN 120
inline int read()
{
int x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
struct Line
{
int v,next,w;
}e[MAXL];
int h[MAX],cnt;
int S,T,n,m,K;
inline void Add(int u,int v,int w)
{
e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;
e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;
}
inline void Add2(int u,int v,int w)
{
e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;
e[cnt]=(Line){u,h[v],w};h[v]=cnt++;
}
int level[MAX];
bool BFS()
{
memset(level,0,sizeof(level));
level[S]=1;
queue<int> Q;
Q.push(S);
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();Q.pop();
for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(e[i].w&&!level[v])
level[v]=level[u]+1,Q.push(v);
}
}
return level[T];
}
int DFS(int u,int flow)
{
if(flow==0||u==T)return flow;
int ret=0;
for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1)
{
int dd=DFS(v,min(flow,e[i].w));
flow-=dd;ret+=dd;
e[i].w-=dd;e[i^1].w+=dd;
}
}
return ret;
}
int Dinic()
{
int ret=0;
while(BFS())ret+=DFS(S,INF);
return ret;
}
int bh[MAXN][MAXN];
int g[10][MAXN][MAXN];
int a[MAXN][MAXN];
int b[MAXN][MAXN];
int tot,ans;
int main()
{
memset(h,-1,sizeof(h));
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
bh[i][j]=++tot;
S=0;T=tot+1;
//S文科 T理科
for(int Mx=1;Mx<=6;++Mx)
{
int xx=n,yy=m;
if(Mx==3||Mx==4)xx--;
if(Mx==5||Mx==6)yy--;
for(int i=1;i<=xx;++i)
for(int j=1;j<=yy;++j)
{
ans+=g[Mx][i][j]=read();
if(Mx==3)a[i][j]+=g[Mx][i][j],a[i+1][j]+=g[Mx][i][j];
if(Mx==4)b[i][j]+=g[Mx][i][j],b[i+1][j]+=g[Mx][i][j];
if(Mx==5)a[i][j]+=g[Mx][i][j],a[i][j+1]+=g[Mx][i][j];
if(Mx==6)b[i][j]+=g[Mx][i][j],b[i][j+1]+=g[Mx][i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
{
Add(S,bh[i][j],a[i][j]+g[1][i][j]*2);
Add(bh[i][j],T,b[i][j]+g[2][i][j]*2);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
{
if(i!=1)Add2(bh[i][j],bh[i-1][j],g[3][i-1][j]+g[4][i-1][j]);
if(j!=1)Add2(bh[i][j],bh[i][j-1],g[5][i][j-1]+g[6][i][j-1]);
}
printf("%d\n",ans-Dinic()/2);
return 0;
}