ACM-ICPC 2018 徐州赛区网络赛
去年博客记录过这场比赛经历：该死的水题
一年过去了，不被水题卡了，但难题也没多做几道。水平微微有点长进。
D. Easy Math
题意：
给定 \(n\), \(m\) ，求 \(\sum _{i=1}^{m} \mu(in)\) 。其中 $ 1 \le n \le 1e12$ , $ 1 \le m \le 2e9$ ，\(\mu(n)\) 为莫比乌斯函数。
思路：
容易知道，\(i\) 与 \(n\) 不互质时， \(\mu(in)\) 恒为0。又由于互质时，\(\mu(in) = \mu(i) \mu(n)\) 。
设 $$F(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\mu(i\cdot n)$$
则有$$F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{i=1}^{m}\mu (i)\cdot[gcd(i,n)1]$$
由$$\sum_{d|n}^{ } \mu(d)=[n1]$$
\[F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{i=1}^{m}\mu (i) \cdot \sum_{d|gcd(i,n)}^{ }\mu(d)
\]
\]
\[F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{d|n}^{d\leqslant m}\mu(d)\cdot\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\mu(i\cdot d)
\]
\]
\[F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{d|n}^{d\leqslant m}\mu(d)\cdot F(d,\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)
\]
\]
推出递推式后，可以递归求解。
当n=1时，有 \(muSum(n)=\sum_{i=1}^{m}\mu(i)\) ，这个和式利用莫比乌斯反演（杜教筛），结果为 \(muSum(n)=1-\sum_{i=2}^{n}muSum(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\)，详见我的博客。
AC代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<unordered_map>
using namespace std;
const int maxn = 2000000;
typedef long long ll;
ll prime[maxn+5];
int tot;
bool vis[maxn+5];
ll mu[maxn+5];
ll Smu[maxn+5];
void getP(int n) {
vis[1] = 1;
mu[1] = 1;
prime[0] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) {
prime[++tot] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++) {
vis[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j])
mu[i*prime[j]] = -mu[i];
else {
mu[i*prime[j]] = 0;
break;
}
}
}
for(int i=1;i<=maxn;i++) {
Smu[i] = Smu[i-1] + mu[i];
}
}
unordered_map<int, ll> Sum;
ll muSum(ll n) {
if(n<=maxn) return Smu[n];
if(Sum.count(n)) return Sum[n];
ll res = 0;
for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1) {
r = n/(n/l);
res += (r+1-l) * muSum(n/l);
}
return Sum[n] = 1-res;
}
ll getmu(ll n) {
if(n<=maxn) return mu[n];
ll k = 1;
for(ll i=2;i*i<=n;i++) {
if(n%i==0) {
if(n%(i*i)==0)
return 0;
k *= -1;
n /= i;
}
}
if(n>1)
k *= -1;
return k;
}
ll f(ll m, ll n) {
if(m==0) return 0;
if(m==1) return getmu(n);
if(n==1) return muSum(m);
ll res = 0;
for(ll d=1;d*d<=n && d<=m;d++) {
if(n%d==0) {
res += getmu(d)*f(m/d, d);
if(n/d<=m) res += getmu(n/d)*f(m/(n/d), n/d);
}
}
return getmu(n)*res;
}
ll m, n;
int main() {
getP(maxn);
cin>>m>>n;
cout<<f(m, n)<<endl;
return 0;
}
F. Features Track
题意：
给出 \(n\) 个时刻（帧）猫的状态，每个状态用 \(<a, b>\) 表示。如果相同的状态在多个连续时刻出现，则构成了一种运动。求最长的这种运动。
思路：
签到题，SLT map pair的使用。注意状态去重！！！
AC代码：
点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
map<pii, int> S;
int id;
const int maxn = 100100;
vector<int> arr[maxn];
int ID(pii a) {
if(S.find(a)!=S.end()) return S[a];
return S[a]=++id;
}
int main() {
int t; cin>>t;
while(t--) {
int n, k, maxid = 0;
scanf("%d", &n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d", &k);
while(k--) {
int a, b;
scanf("%d %d", &a, &b);
int id = ID(make_pair(a, b));
arr[id].push_back(i);
// cout<<id<<' '<<i<<endl;
maxid = max(maxid, id);
}
}
int ans = 0;
for(int i=1;i<=maxid;i++) {
if(arr[i].size()==0) continue;
else if(arr[i].size()==1) {
ans = max(ans, 1);
continue;
}
sort(arr[i].begin(), arr[i].end());
unique(arr[i].begin(), arr[i].end()); // 去重！！！
int now = 1;
for(int j=1;j<arr[i].size();j++) {
if(arr[i][j]==arr[i][j-1]+1) {
ans = max(ans, ++now);
} else {
now = 1;
}
}
}
printf("%d\n", ans);
id = 0;
S.clear();
for(int i=1;i<=maxid;i++)
arr[i].clear();
}
return 0;
}
H. Ryuji doesn't want to study
题意：
有 \(n\) 本书，每本书分别有 \(a[i]\) 的知识点。看书从 \(l\) 到 \(r\) 能得到的知识点为 \(a[l]×L+a[l+1]×(L−1)+⋯+a[r−1]×2+a[r]\) ，其中 \(L = r - l + 1\) 。有 次询问，询问分为两种 1. 询问\([l, r]\) 区间的知识点。 2. 将第 \(b\) 本书知识点改为 \(c\) 。
思路：
稍微推导一下公式，可以发现可以维护两段前缀和 \(sum1[n] = \sum_{1}^{n} a_i\) 与 \(sum2[n] = \sum_{1}^{n} ia_i\) ，那么\(ans[l, r] = (sum2[r]-sum2[l-1]) - (n-r)(sum2[r]-sum2[l-1])\) ，于是用树状数组很快就写出来了。
注意add函数里应该为 \(x\le n\) ，开始写小于WA了一发。。。
改成线段树，爆了 ll 又WA了一次
AC代码：
树状数组写法
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100100;
ll C1[maxn];
ll C2[maxn];
int n, q;
ll arr[maxn];
void add(ll C[], int x, ll val) {
while(x<=n) {
C[x] += val;
x += lowbit(x);
}
}
ll sum(ll C[], int x) {
ll res = 0;
while(x) {
res += C[x];
x -= lowbit(x);
}
return res;
}
int main() {
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<=n;i++) {
ll val;
scanf("%lld", &val);
arr[i] = val;
add(C1, i, val);
add(C2, i, val*(n+1-i));
}
while(q--) {
int op;
ll l, r;
scanf("%d %lld %lld", &op, &l, &r);
if(op==1) {
ll Sum1 = sum(C2, r) - sum(C2, l-1);
ll Sum2 = sum(C1, r) - sum(C1, l-1);
printf("%lld\n", Sum1 - Sum2*(n-r));
} else {
add(C1, l, r-arr[l]);
add(C2, l, (r-arr[l])*(n+1-l));
arr[l] = r;
}
}
return 0;
}
线段树写法
点击查看代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define lson rt<<1, l, mid
#define rson rt<<1|1, mid+1, r
#define MID (l+r)>>1
const int maxn = 100010;
typedef long long ll;
ll t1[maxn<<2];
ll t2[maxn<<2];
ll arr[maxn];
int n;
void build(ll t[], bool f, int rt, int l, int r) {
if(l==r) {
if(f)
t[rt] = arr[l];
else
t[rt] = arr[l]*(n+1-l);
return;
}
int mid = MID;
build(t, f, lson);
build(t, f, rson);
t[rt] = t[rt<<1] + t[rt<<1|1];
}
void update(ll t[], int pos, ll val, int rt, int l, int r) {
if(l==r) {
t[rt] += val;
return;
}
int mid = MID;
if(pos<=mid)
update(t, pos, val, lson);
else
update(t, pos, val, rson);
t[rt] = t[rt<<1] + t[rt<<1|1];
}
ll query(ll t[], int L, int R, int rt, int l, int r) {
if(L<=l && R>=r) {
return t[rt];
}
ll ans = 0;
int mid = MID;
if(L<=mid)
ans += query(t, L, R, lson);
if(mid<R)
ans += query(t, L, R, rson);
return ans;
}
int main() {
int q;
scanf("%d %d", &n, &q);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%lld", &arr[i]);
}
build(t1, 1, 1, 1, n);
build(t2, 0, 1, 1, n);
while(q--) {
int op;
ll l, r;
scanf("%d %d %d", &op, &l, &r);
if(op==1) {
ll sum1 = query(t1, l, r, 1, 1, n);
ll sum2 = query(t2, l, r, 1, 1, n);
sum2 -= sum1 * (n-r);
printf("%lld\n", sum2);
} else {
update(t1, l, r-arr[l], 1, 1, n);
update(t2, l, (r-arr[l])*(n+1-l), 1, 1, n);
arr[l] = r;
}
}
return 0;
}
I. Characters with Hash
题意：
水题，签到。
AC代码：
点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
char str[1000100];
int main() {
int t; cin>>t;
while(t--) {
int n; char c;
cin>>n>>c;
scanf("%s", str);
int s = 0;
while(s<n && str[s]==c) ++s;
if(s==n) {
printf("1\n");
continue;
}
if(abs(str[s]-c)>=10) {
printf("%d\n", (n-s)*2);
} else {
printf("%d\n", (n-s)*2-1);
}
}
return 0;
}