- A. Nastia and nearly Good Numbers
- B. Nastia and a Good Array
- C. Nastia and a Hidden Permutation
- D. Nastia Plays with a Tree
A. Nastia and nearly Good Numbers
大意：求互不相同的三个正整数 \(x,y,z\) 满足其中一个被 \(AB\) 整除，另外两个数不被 \(AB\) 整除但是被 \(A\) 整除。
显然 \(B=1\) 的时候，又被 \(A\) 整除又不被 \(A\) 整除是不可能的。因此这种情况输出 NO。
对于其他情况，只要构造 \(A,A(B^2-1),AB^2\) 即可（答案应该挺多，我随便构造了一个）。
#include <bits/stdc++.h>
#define repeat(i,a,b) for(int i=(a),ib=(b);i<ib;i++)
#define repeat_back(i,a,b) for(int i=(b)-1,ib=(a);i>=ib;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){ll x; if(scanf("%lld",&x)!=1)exit(0); return x;}
void print(ll x,bool e=0){printf("%lld%c",x," \n"[e]);}
const int N=200010;
void Solve(){
ll a=read(),b=read();
if(b==1)puts("NO");
else puts("YES"),print(a),print(a*b*b-a),print(a*b*b,1);
}
signed main(){
// freopen("data.txt","r",stdin);
int T=1; T=read();
repeat(ca,1,T+1){
Solve();
}
return 0;
}
B. Nastia and a Good Array
大意：可以进行最多 \(n\) 次某种操作，最后要求数列的所有相邻数字互质。
如果数列有两个数 \(3,9\)，保持 \(3\) 不动，\(9\) 可以变成 \(\ge 3\) 的任何数字。归纳地说，取最小值的位置和另外一个位置，保持最小值位置上的数字不变，另外一个位置可以修改成不小于最小值的任何数。
因此策略就很简单了，先找到最小值 \(a_t\)。如果它在奇数位，就把奇数位的所有数修改成 \(a_t\)，并把偶数位的所有数修改成 \(a_t+1\)（相差为 1 的两个数一定互质，\(\gcd(a_t,a_t+1)=1\)）。如果它在偶数位，那么奇偶反过来就行了。
#include <bits/stdc++.h>
#define repeat(i,a,b) for(int i=(a),ib=(b);i<ib;i++)
#define repeat_back(i,a,b) for(int i=(b)-1,ib=(a);i>=ib;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){ll x; if(scanf("%lld",&x)!=1)exit(0); return x;}
void print(ll x,bool e=0){printf("%lld%c",x," \n"[e]);}
const int N=200010;
int a[N];
void Solve(){
int n=read();
repeat(i,0,n)a[i]=read();
int p=min_element(a,a+n)-a;
print(n-1,1);
repeat(i,0,n)if(i!=p){
if(i%2==p%2){
printf("%d %d %d %d\n",i+1,p+1,a[p],a[p]);
}
else{
printf("%d %d %d %d\n",i+1,p+1,a[p]+1,a[p]);
}
}
}
signed main(){
// freopen("data.txt","r",stdin);
int T=1; T=read();
repeat(ca,1,T+1){
Solve();
}
return 0;
}
C. Nastia and a Hidden Permutation
大意：交互题，有个隐藏的排列，每次询问两个位置上的数的情况，最后求出排列。
一个比较容易想的策略是，先找到 1，然后一个个求出剩下的。
如果询问 \(t=2,x=1\)，回答就是 \(\min(\max(1,p_i),\max(2,p_j))\)。如果回答 \(\le 2\)，可以断言 \(p_i,p_j\) 里面必然有 1 或 2。如果是 \(1\)，那就有 \(p_i=1\)；否则 \(i,j\) 交换再询问，如果回答是 \(1\)，那么 \(p_j=1\)。
到这里，我们找到 1 的位置 \(pos[1]\)。接下来只要询问 \(t=1,j=pos[1],x=n-1\)，所得到的值就是 \(p_i\)。
#include <bits/stdc++.h>
#define repeat(i,a,b) for(int i=(a),ib=(b);i<ib;i++)
#define repeat_back(i,a,b) for(int i=(b)-1,ib=(a);i>=ib;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){ll x; if(scanf("%lld",&x)!=1)exit(0); return x;}
void print(ll x,bool e=0){printf("%lld%c",x," \n"[e]);}
const int N=200010;
int query(int t,int i,int j,int x){
printf("? %d %d %d %d\n",t,i,j,x);
fflush(stdout);
return read();
}
int p,ans[N];
void find1(int x,int y){
int t=query(2,x,y,1);
if(t==1)p=x;
else if(t==2){
if(query(2,y,x,1)==1)
p=y;
}
}
void Solve(){
int n=read();
for(int i=1;i<=n;i+=2){
find1(i,i%n+1);
}
repeat(i,1,n+1)if(i!=p){
ans[i]=query(1,p,i,n-1);
}
ans[p]=1;
printf("!");
repeat(i,1,n+1)printf(" %d",ans[i]);
puts("");
fflush(stdout);
}
signed main(){
// freopen("data.txt","r",stdin);
int T=1; T=read();
repeat(ca,1,T+1){
Solve();
}
return 0;
}
D. Nastia Plays with a Tree
大意：删 k 条边并连 k 条边让给定树变成链。求 k 最小值及方案。
假如反过来，从没有边的图开始，不断加边，使得所有点的度 \(\le 2\)，加不了的边就当做删除了。这样可以得到一条条链（肯定无环因为原图是树），最后按任意顺序连接这些链就行了。
但是但是，如果按任意顺序加边，并不是最优的。比如 1-3,2-3,3-4,4-5,4-6。如果先加了边 3-4，那么会*删除两条边，反之只要删除 3-4 这一条边即可。
我根据这个数据大致猜到了正确（？）的加边顺序，即，用拓扑排序的方法，不断删除度为 1 的节点，加边顺序就是该节点对应的那条边。
代码：（比赛时改来改去最后代码极度混乱，慎点！）