1148 H. Holy Diver
题意: 强制在线,初始数组为空.每次询问给出四个整数\(a,l,r,k\),表示在数组末尾添加\(a\),求满足\(l\leq x\leq y\leq r\)以及\(\text{mex}(a_{x},a_{x+1},\cdots,a_y)=k\)的整数对\(x,y\)的个数.
\(\text{mex}\)定义可见Mex (mathematics) - Wikipedia.
题解:
以第一个样例为例,以区间右端点为横坐标,区间左端点为纵坐标,对应坐标的数字表示这段区间\(\text{mex}\),那么每次询问就相当于询问\([l,r]\times[l,r]\)里有多少个\(k\).
观察:整张图可以被划分成\(O(n)\)个矩形,满足每个矩形内数字一样,且相同数字的两个不同矩形横坐标范围不相交.
从左到右枚举右端点,假设当前枚举到\(r\),维护一个随\(r\)变化的数组\(b,b_i=\text{mex}(a_i,a_{i+1},\cdots,a_r)\).(实际上\(b\)就是图中的每一列).\(b\)是随\(i\)(非严格)单调递减的.
对于某个值\(k\),它在\(b\)中出现的位置是连续的,并且它会保持在这段区间上一段时间.假设\(a\)在连续一段时间内出现的区间不变,那么它在图中就是一个矩形.所以需要证明这种变化对于所有值总共只会出现\(O(n)\)次.
考虑加入新的数\(a\)时,\(a\)将从\(b\)中消失,同时原来\(a\)在\(b\)中出现的位置会变成比\(a\)大的数.考虑每个值在\(b\)中出现的区间,那么每次添加一个数变化至多有:删去\(a\)的区间,增加若干个值的区间,修改某个值的区间,由于\(n\)次操作最多删除\(n\)个区间,并且最后整个序列至多\(O(n)\)个区间,所以增加类型的变化总共只有\(O(n)\)次.
因此只需要模拟这个过程,保存每个值对应的矩形,并且计算矩形面积的前缀和.
最后考虑查询,二分查找第一个和最后一个与查询矩形相交的矩形,答案是这段矩形的面积和,减去左边和右边多算的部分.
注意到查询矩形下方也会有多算的部分.这些多算部分的下边界总是相等的并且就是第一个与查询相交的矩形的下边界.因为某个值在\(b\)中的区间如果左端点变化,那么它只能是消失.并且重新出现时只能在当前右端点之后的位置出现.可以再次通过二分查找到这段下边界的右端点的位置.
还有一个需要注意的地方是,当前的值可能还有最右边的矩形并没有保存下来.可以在查询某个值时强制将矩形保存,或者单独处理这一部分.
所以这个题不需要线段树.