题目1 : 数论六·模线性方程组
描述
小Ho：今天我听到一个挺有意思的故事！
小Hi：什么故事啊？
小Ho：说秦末，刘邦的将军韩信带领1500名士兵经历了一场战斗，战死四百余人。韩信为了清点人数让士兵站成三人一排，多出来两人；站成五人一排，多出来四人；站成七人一排，多出来六人。韩信立刻就知道了剩余人数为1049人。
小Hi：韩信点兵嘛，这个故事很有名的。
小Ho：我觉得这里面一定有什么巧妙的计算方法！不然韩信不可能这么快计算出来。
小Hi：那我们不妨将这个故事的数学模型提取出来看看？
小Ho：好！
<小Ho稍微思考了一下>
小Ho：韩信是为了计算的是士兵的人数，那么我们设这个人数为x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是说我们可以列出一组方程：
x mod 3 = 2
x mod 5 = 4
x mod 7 = 6
韩信就是根据这个方程组，解出了x的值。
小Hi：嗯，就是这样！我们将这个方程组推广到一般形式：给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i]。
小Ho：我怎么感觉这个方程组有固定的解法？
小Hi：这个方程组被称为模线性方程组。它确实有固定的解决方法。不过在我告诉你解法之前，你不如先自己想想怎么求解如何？
小Ho：好啊，让我先试试啊！
输入
第1行：1个正整数, N，2≤N≤1,000。
第2..N+1行：2个正整数, 第i+1行表示第i组m,r，2≤m≤20,000,000，0≤r<m。
计算过程中尽量使用64位整型。
输出
第1行：1个整数，表示满足要求的最小X，若无解输出-1。答案范围在64位整型内。
- 样例输入
-
3
3 2
5 3
7 2 - 样例输出
-
23
解答：
一开始没看提示，想的是暴力法，输出满足n个式子的x值，果然提交了，AC不了，超时。赋下超时代码：
#include "iostream"
#define MAX 20000000 using namespace std; typedef long long LL; LL m[MAX], r[MAX], n, k; int main()
{
cin>>n; if(n<)
return -; for (int i = ; i<n; i++)
cin >> m[i] >> r[i]; for(int i=;i<MAX;i++){
k = ;
for (int j = ; j < n; j++){
if(i%m[j]==r[j])
k++;
}
if (k == n){
cout << i << endl;
system("pause");
}
}
}期间还出现了个小问题，定义超大数组的时候提示栈溢出。
，如果放在main函数里面，栈会overflow。
因为局部变量存在栈上，一般大小2m，所以会溢出，，，定义成全局变量或static的话，就ok了，大小由系统决定。
AC代码：
#include "iostream"
#define MAX 20000000 using namespace std; typedef long long LL; LL m[MAX], r[MAX], n ; LL gcd(LL a, LL b){
if (b == )
return a;
return gcd(b, a%b);
} void extend_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
if (b == ){
x = ;
y = ;
return ;
} LL x1, y1;
extend_gcd(b, a%b, x1, y1);
x = y1;
y = x1 - (a / b)*y1;
} LL Solve()
{
LL M = m[], R = r[], d, k1, k2, c;
for (int i = ; i <= n; i++)
{
d = gcd(M, m[i]);
c = r[i] - R;
if (c % d)
return -; // 无解的情况
extend_gcd(M / d, m[i] / d, k1, k2);
k1 = (c / d*k1) % (m[i] / d); // 计算x = m[1] * k[1] + r[1]
R = R + k1*M; // 求解lcm(M, m[i])
M = M / d*m[i]; // 求解合并后的新R，同时让R最小
R %= M;
}
if (R < )
R = R + M;
return R;
} int main()
{
cin >> n; for (int i = ; i <= n; i++)
cin >> m[i] >> r[i];
cout << Solve() << endl; system("pause");
}