强化学习中的应该理解的一些关键概念（笔记）

2024-04-06 12:44:31

简而言之，RL是研究代理以及代理如何通过反复试验来学习的方法。它正式提出了这样一种思想，即通过奖励或惩罚人的行为使其将来更有可能重复或放弃该行为。

1、术语

强化学习的主要特征是代理和环境。环境是代理生存并与之互动的世界。在交互的每个步骤中，代理都会得到（可能是部分）对世界状态的观察，然后根据状态决定要采取的行动。当代理对它进行操作时，环境会发生变化，但也可能会自行发生变化。

代理还从环境中感知到奖励信号，该数字告诉它当前世界状态的好坏。代理的目标是最大化其累积的奖励，称为return。强化学习方法是代理可以通过学习行为来实现其目标的方法。

为了更具体地讨论RL的作用，我们需要引入其他术语。我们需要了解一下概念：

状态和观察（states and observations），
动作空间（action spaces），
策略（policies），
序列（trajectories），
不同的收益表述（different formulations of return），
RL优化问题（the RL optimization problem），
价值函数（value functions）。

1.1状态和观察（States and Observations）

状态 s 是对世界状态的完整描述。不包含关于世界的信息
观察 o 是对状态s的部分描述，可以解释部分被状态忽略的信息。

在深度RL中，我们几乎总是用实值向量，矩阵或高阶张量表示状态和观测值。例如，视觉观察可以用其像素值的RGB矩阵表示。机器人的状态可以用其关节角度和速度来表示。

当代理能够观察到环境的完整状态时，我们说该环境是 fully observed。当主体只能看到部分观察时，我们说环境是partially observed的。

1.2 动作空间（action space）

不同的环境允许不同类型的动作。给定环境中所有有效动作的集合通常称为动作空间。

某些环境（例如Atari和Go），代理能够执行的动作是离散的，例如如上下左右这四个动作，我们称它的动作空间为离散动作空间（discrete action spaces）。而其他环境（例如，代理在物理世界中控制机器人的环境），代理的动作是连续的，例如电机角度控制。我们称为连续动作空间（continuous action spaces），在连续空间中，动作是实值向量。

这种区分对深度RL中的方法产生了一些深远的影响。一些算法系列只能在一种情况下直接应用，而在另一种情况下则必须进行大量修改。

1.3 策略（Policies）

策略是使用代理来决定采取何种行动的规则。

如果它可以是确定性的，通常用 $\mu$ μ表示：

$a_t = \mu(s_t)$ at=μ(st)

如果是随机的，通产用 $\pi$ π表示：
$a_t \sim \pi(\cdot | s_t)$ at∼π(⋅∣st)

在深度RL中，我们处理参数化策略：输出为可计算函数的策略，这些函数取决于一组参数（例如神经网络的权重和偏差），我们可以通过一些优化算法进行调整以更改行为。

我们通常用 $\theta$ θ或表示这种策略的参数 $\phi$ ϕ，然后将其作为下标写在策略符号上:
$a_t = \mu_{\theta}(s_t)$ at=μθ(st)
$a_t = \pi_{\theta}(\cdot | s_t)$ at=πθ(⋅∣st)

1.3.1 确定性策略（Deterministic Policies）：

下面使用tensorflow编写的连续动作空间的确定性策略的简单代码：

obs = tf.keras.Input(shape=(None, obs_dim), dtype=tf.float32)
net = mlp(hidden_dims=(64,64), activation=tf.tanh)(obs)
actions = tf.keras.layers.dense(units=act_dim, activation=None)(net)

其中，mlp是一个给定结构和激活函数的神经网络，神经网络直接输出动作值。

1.3.2 随机策略（Stochastic Policies）

随机策略指的是神经网络，或者策略模型，它输出的是动作的概率分布，而不是某个特定的动作，然后再根据概率去对动作进行采样，深度RL中两种最常见的随机策略是分类策略（categorical policies ）和对角高斯策略（diagonal Gaussian policies）。

分类策略可用于离散动作空间，而对角线高斯策略可用于连续动作空间。对于使用和训练随机策略，两个关键计算至关重要：

从策略中对行为取样，
计算特定动作的对数可能性（log likelihoods ）， $\log \pi _ {\theta}（a | s）$ logπθ（a∣s）。

分类政策（Categorical Policies）

分类策略就像是针对离散操作的分类器。他给出当前状态下每个离散动作的概率。我们可以与构建分类模型相同的方式为分类策略构建神经网络：输入是观察值，然后是若干层（卷积层或全连接层，具体取决于输入的类型），然后便得到最后一个线性层提供每个动作的logit，然后再加上softmax将logit转换为概率。

采样：给定每个动作的概率，像Tensorflow Probability这样的框架具有内置的采样工具。例如，请参阅tfp.distributions.Categorical文档或tfp.distributions.Multinomial。

对数似然 ：将最后一层概率表示为 $P _ {\theta}$ Pθ。它是一个包含很多动作的向量，因此我们可以将动作视为向量的索引。我们可以通过索引来获得向量中的动作的对数似然率：
$\log \pi _ {\theta}（a | s）= \log [P _ {\theta} (s)]_a$ logπθ（a∣s）=log[Pθ(s)]a

高斯策略（Diagonal Gaussian Policies）

多元高斯分布（或多元正态分布）由均值向量 $\mu$ μ和协方差矩阵 $\Sigma$ Σ来描述。对角高斯分布是一种特殊情况，其中协方差矩阵仅在对角线上有数值。所以，我们可以用一个向量表示它。

对角高斯策略始终具有一个神经网络，该神经网络将观测值映射为平均动作 $\mu _ {\theta}$ μθ。然后通常有两种不同的方式表示协方差矩阵：

用一个对数标准偏差的向量 $\log \sigma$ logσ表示，它不是关于状态的函数： $\log \sigma$ logσ是独立参数。(VPG，TRPO和PPO的实现是通过这种方式实现的。)
由一个神经网络提供，是一个关于状态的函数，以记录标准偏差 $\log \sigma _ {\theta}（s）$ logσθ（s）。它可以选择与均值网络共享某些层。

请注意，在两种情况下，我们都输出对数标准偏差而不是直接输出标准偏差。这是因为log stds可以随意接受中的任何值 $（-\infty，\infty）$ （−∞，∞），而stds必须为非负数。如果您不必强制执行这些约束，则训练参数会更容易。可以通过对数标准偏差取幂，立即获得标准偏差，因此通过这种方式表示它们不会损失任何信息。

采样：给定平均动作 $\mu _ {\theta}$ μθ和标准偏差 $\sigma _ {\theta}(s)$ σθ(s)，以及一个，来自高斯分布 $(z \sim \mathcal {N}(0，I))$ (z∼N(0，I))的噪声向量 $z$ z，可以使用以下公式计算动作样本：

$a = \mu _ {\theta}（s）+ \sigma _ {\theta}（s）\odot z$ a=μθ（s）+σθ（s）⊙z

其中 $\odot$ ⊙表示两个向量的元素之间乘积。我们可以使用标准函数来计算噪声向量，例如tf.random.normal。或者，您可以直接将均值和标准差提供给tfp.distributions.Normal对象，然后使用该值进行采样。

对数似然：具有k维的动作a向量，其高斯分布具有均值 $\mu = \mu_{\theta}(s)$ μ=μθ(s) 方差为 $\sigma = \sigma_{\theta}(s)$ σ=σθ(s) 。其对数似然由以下公式给出：

$log \pi_ \theta(a|s) = -\frac{1}{2}\left ( \sum_{i=1}^{k}\left ( \frac{(a_i-\mu_i)^2}{\sigma _i ^2 }+ 2 log \sigma_i \right) +k log2 \pi\right )$ logπθ(a∣s)=−21(i=1∑k(σi2(ai−μi)2+2logσi)+klog2π)。

1.4序列（Trajectories）

序列 $\tau$ τ是由代理与环境交互过程中的一系列状态和动作所组成，其形式如下：
$\tau = (s_0,a_0,s_1,a_1,...)$ τ=(s0,a0,s1,a1,...)
初始状态 $s_0$ s0从初始状态分布中随机抽取，又或者由 $\rho_0$ ρ0决定：
$s_0 \sim \rho_0(\cdot)$ s0∼ρ0(⋅)

状态转移（即 $t$ t时刻状态 $s_t$ st，与 $t+1$ t+1时刻状态 $s_{t+1}$ st+1之间世界发生了什么），只依赖于最近的动作 $a_t$ at。

确定性动作： $s_{t+1} = f(s_t, a_t)$ st+1=f(st,at)
随机动作： $s_{t+1} \sim P(\cdot | s_t, a_t)$ st+1∼P(⋅∣st,at)

这个序列通常也被叫做 episodes 或者 rollouts.

1.5奖励和收益（Reward and Return）

奖励功能 $R$ R在强化学习中至关重要。这取决于当前的世界状态，刚刚采取的行动以及下一世界的状态：

$r_t = R(s_t, a_t, s_{t+1})$ rt=R(st,at,st+1)

不过通常将其简化为仅依赖于当前状态 $r_t = R（s_t）$ rt=R（st）或状态-动作 $r_t = R（s_t，a_t）$ rt=R（st，at）。代理的目标是使某个序列上累积的奖励值最大化，当然这也不一定，实际上可能只是一小部分情况。根据实际情况我们再详说。最常见的有有下两种：

有限无折扣收益，这种情况的回报只是单纯地将每一步所产生的奖励加起来：

$R(\tau) = \sum_{t=0}^{T} r_t$ R(τ)=t=0∑Trt

无限折扣收益，与上一种情况相反，给每一步动作奖励都打个折：

$R(\tau) = \sum_{t=0}^{\infty}\gamma ^t r_t$ R(τ)=t=0∑∞γtrt

但是，为什么我们要折扣系数呢？我们不是只想获得所有奖励吗？可以不用，但是使用折扣率在直观上和数学上都很方便。从直觉上讲：现在现金比以后现金要值钱。数学上：无限水平的奖励之和可能不会收敛到有限的值，并且很难在方程中处理。但是在有折现因子的情况下，并且在合理的条件下，无穷大是收敛的。

1.6 RL优化问题

无论选择哪种收益度量（有限，无限），无论采取何种策略选择方式（随机，确定），RL的目标都是选择一种策略模型，该策略模型使得代理采取行动时能最大化预期收益。

要讨论预期收益，我们首先必须讨论序列上的概率分布。假设环境转变和策略都是随机的。在这种情况下， $T$ T阶跃序列的概率为：
$P(\tau|\pi) = \rho_0(s_0)\prod_{t=0}^{T-1}P(s_{t+1}|s_t,a_t)\pi(a_t|s_t)$ P(τ∣π)=ρ0(s0)t=0∏T−1P(st+1∣st,at)π(at∣st)

因此，用表示的预期收益（无论采用哪种度量）为 $J(\pi)$ J(π)：

$J(\pi) = \int_{\tau} P(\tau|\pi)R(\tau) = \underset{\tau \sim \pi}{E}[R(\tau)]$ J(π)=∫τP(τ∣π)R(τ)=τ∼πE[R(τ)]

RL中的集中优化问题可以表示为:

$\pi ^* = arg \underset{\pi}{max}J(\pi)$ π∗=argπmaxJ(π)

其中 $\pi ^*$ π∗为最优策略

1.7 价值函数（Value Functions）

了解状态或状态-动作的价值通常很有用。所谓价值，是指如果从那个状态或状态-动作开始，然后再根据特定策略采取永远行动，所获得的期望收益。几乎每种RL算法都使用一种或另一种方法使用价值函数。

这里给出主要四种价值函数：

1、On-Policy Value Function —— $V^{\pi}(s)$ Vπ(s)：从状态s开始然后一直根据决策模型 $\pi$ π采取行动

$V^{\pi}(s) = \underset{\tau \sim \pi}{E}[R(\tau) | s_0 = s]$ Vπ(s)=τ∼πE[R(τ)∣s0=s]

2、On-Policy Action-Value Function—— $Q^{\pi}(s,a)$ Qπ(s,a)：从状态s开始，采取随机动作a（该动作比一定来自决策模型），然后一直根据决策模型 $\pi$ π采取行动

$Q^{\pi}(s,a) = \underset{\tau \sim \pi}{E}[R(\tau) | s_0 = s, a_0 = a]$ Qπ(s,a)=τ∼πE[R(τ)∣s0=s,a0=a]

3、Optimal Value Function —— $V^*(s)$ V∗(s)：从状态s开始，一直根据当前环境中的最优策略采取行动

$V^{*}(s) =\underset{\pi}{max} \underset{\tau \sim \pi}{E}[R(\tau) | s_0 = s]$ V∗(s)=πmaxτ∼πE[R(τ)∣s0=s]

4、Optimal Action-Value Function—— $Q^{*}(s,a)$ Q∗(s,a)：从状态s开始，采取随机动作a，然后一直根据当前环境中的最优策略采取行动

$Q^*(s,a) = \underset{\pi}{max} \underset{\tau \sim \pi}{E}[R(\tau)| s_0 = s, a_0 = a ]$ Q∗(s,a)=πmaxτ∼πE[R(τ)∣s0=s,a0=a]

有两个很关键的联系：
$V^{\pi}(s) = \underset{a\sim \pi}{E}{Q^{\pi}(s,a)}$ Vπ(s)=a∼πEQπ(s,a)
$V^*(s) = \max_a Q^* (s,a)$ V∗(s)=amaxQ∗(s,a)

1.8 最优Q函数和最优策略(The Optimal Q-Function and the Optimal Action)

optimal action-value函数 $Q ^ *(s,a)$ Q∗(s,a)与最优策略模型选择出来的动作之间存在重要的联系。根据 $Q ^ *(s,a)$ Q∗(s,a)定义，最优策略模型会根据当前状态s选择出能够使收益最大化的动作，因此，如果我们知道了 $Q^*$ Q∗，就能直接获取最优动作，
$a ^ *（s）= \arg \max_a Q ^ *(s,a)$ a∗（s）=argamaxQ∗(s,a)

注意：可能会有多个动作最大化 $Q ^ *(s,a)$ Q∗(s,a)，在这种情况下，所有动作都是最优的，最优策略可能会随机选择其中的任何一个。但是总会有一个确定性地选择动作的最佳策略。

1.9 贝尔曼方程（Bellman Equations）

所有四个值函数都遵循称为Bellman方程的特殊自洽方程。Bellman方程背后的基本思想是：

起点的价值是您期望从那里得到的回报，再加上下一次到达的地方的价值。

on-policy value functions 的贝尔曼方程为：

$V^{\pi}(s)= \underset{a \sim \pi \ s'\sim P}{E}[r(s,a) + \gamma V^{\pi}(s')]$ Vπ(s)=a∼π s′∼PE[r(s,a)+γVπ(s′)]

$Q^{\pi}(s,a) = \underset{s'\sim P}{E}[{r(s,a) + \gamma \underset{a'\sim \pi}{E}{Q^{\pi}(s',a')}}]$ Qπ(s,a)=s′∼PE[r(s,a)+γa′∼πEQπ(s′,a′)]

其中
$s'$ s′指下一状态，
$s' \sim P = s' \sim P(\cdot |s,a)$ s′∼P=s′∼P(⋅∣s,a)
$a \sim \pi = a \sim \pi(\cdot|s)$ a∼π=a∼π(⋅∣s)
$a' \sim \pi=a' \sim \pi(\cdot|s')$ a′∼π=a′∼π(⋅∣s′)

optimal value functions的bellman方程：

$V ^ *（s）＆= \ max_a \ underE {s'\ sim P} {r（s，a）+ \ gamma V ^ *（s'）}$ V∗（s）＆= maxa underEs′ simPr（s，a）+ gammaV∗（s′）

$Q ^ *（ s，a）＆= \ underE {s'\ sim P} {r（s，a）+ \ gamma \ max_ {a'} Q ^ *（s'，a'）}$ Q∗（s，a）＆= underEs′ simPr（s，a）+ gamma maxa′Q∗（s′，a′）

策略模型的价值函数和最优价值函数的Bellman方程之间的关键区别是 $\ max$ max过度动作的存在与否。它的包含反映了这样一个事实，即代理每当选择其行动时，为了采取最佳行动，就必须选择导致最高价值的行动。

2.0 优势函数

有时在RL中，我们不需要描述一个动作的绝对意义，而只需描述它比其他动作平均好多少。也就是说，我们想知道该行动的相对优势。我们利用优势函数使这个概念变得精确。

决策 $\pi$ π的 $A ^ {\pi}(s,a)$ Aπ(s,a)描述了，在状态s下执行特定动作a，比根据 $\pi(\cdot | s)$ π(⋅∣s)随机选择一个动作要好多少，假定往后的行为都是根据 $\pi$ π产生的。在数学上，优势函数定义为：
$A^{\pi}(s,a) = Q^{\pi}(s,a) - V^{\pi}(s)$ Aπ(s,a)=Qπ(s,a)−Vπ(s)

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