文章目录
卷积的基本概念
卷积，是一个强有力的数学工具，在计算机领域中有很多非常不错的运用，能产生很多意想不到的效果和输出。
数学上，其连续函数的解析式写作：
F ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( x − τ ) d τ F(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(x-\tau) d\tau F(x)=∫−∞∞f(τ)g(x−τ)dτ
而离散形为：
F ( x ) = ∑ τ = 0 N f ( τ ) g ( x − τ ) F(x) = \sum_{\tau = 0}^{N} f(\tau) g(x-\tau) F(x)=τ=0∑Nf(τ)g(x−τ)
其本质，表示如下一个操作1：
通常情况下，
f
(
τ
)
f(\tau)
f(τ) 表示被积函数，而
g
(
x
−
τ
)
g(x-\tau)
g(x−τ) 表示卷积核函数。这里多说一句，之所以不使用
f
(
x
)
f(x)
f(x) 表示原函数而用
f
(
τ
)
f(\tau)
f(τ) ，而且强调
f
(
τ
)
f(\tau)
f(τ) 是被积函数，是因为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 与
f
(
τ
)
f(\tau)
f(τ) 之间还存在着如下关系：
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) d τ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) d \tau f(x)=∫−∞∞f(τ)dτ
这是因为这里面多了一个滑动的概念，卷积核函数的大小不一定跟原函数一致，通常情况下，在滑动计算过程中，卷积核函数一次只处理原函数的一部分。
τ
\tau
τ 在某些教科书里，通常被称为一个与时间相关的变量。但你其实只需要理解，
τ
\tau
τ 其实是
x
x
x 的一个，连续地包含了一定数量元素的子集。
卷积运算公式
卷积运算公式最好你能了解一下，虽然说写程序可能一辈子都用不到卷积的运算公式，但没准在论文里，或者某些考试的卷子上会出现这些公式。
交换律
x ( t ) ∗ h ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t ) x(t)*h(t) = h(t)*x(t) x(t)∗h(t)=h(t)∗x(t)
分配律
x ( t ) ∗ [ g ( t ) + h ( t ) ] = x ( t ) ∗ g ( t ) + x ( t ) ∗ h ( t ) x(t)*[g(t)+h(t)] = x(t)*g(t)+x(t)*h(t) x(t)∗[g(t)+h(t)]=x(t)∗g(t)+x(t)∗h(t)
结合律
[ x ( t ) ∗ g ( t ) ] ∗ h ( t ) = x ( t ) ∗ [ g ( t ) ∗ h ( t ) ] [x(t)*g(t)]*h(t) = x(t)*[g(t)*h(t)] [x(t)∗g(t)]∗h(t)=x(t)∗[g(t)∗h(t)]
数乘结合律
a [ x ( t ) ∗ h ( t ) ] = [ a x ( t ) ] ∗ h ( t ) = x ( t ) ∗ [ a h ( t ) ] a[x(t)*h(t)]=[ax(t)]*h(t)=x(t)*[ah(t)] a[x(t)∗h(t)]=[ax(t)]∗h(t)=x(t)∗[ah(t)]
卷积核
卷积核的选取，我个人认为是卷积这种数学工具最重要的部分。因为对于做工程，或者做其他研究，一旦遇上需要使用卷积的部分，增强或者平滑某种信号，亦或者需要从原始信号中提取某种特征，通常意味着需要使用不同的卷积核。
对于数字图像来说，卷积核通常有这些类型，比如平滑（模糊）卷积核，锐化（增强）卷积核，以及边缘卷积核等。
卷积核函数有时会被称为卷积算子，即一个函数空间到函数空间上的映射。从我个人的理解看，他们只是名称叫法不一样，就类似于一个人的昵称、姓名、绰号一类，也就是所谓函数本尊。
另外，根据这类积分函数的特点，卷积核的大小其实是没有固定的规定。对于图像来说，常用的卷积核大小为 3 × 3 3 \times 3 3×3，但根据需要你也可以定义别的大小 4 × 4 4 \times 4 4×4， 5 × 5 5 \times 5 5×5。
3 × 3 3 \times 3 3×3 之所以比较常见，这通常是差分形式所决定的。
例如，对于拉普拉斯算子来说，其 3 × 3 3 \times 3 3×3 的数值通常如下：
[ 0 1 0 1 − 4 1 0 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ⎣⎡0101−41010⎦⎤
之所以是这些特定的数值，并非心血来潮，而是根据拉普拉斯的中间差分的差分形式计算后得出
∂
2
∂
x
2
≈
f
(
x
+
1
,
y
)
−
2
f
(
x
,
y
)
+
f
(
x
−
1
,
y
)
\frac{\partial^2}{\partial x^2} \approx f(x+1, y) - 2f(x, y) + f(x-1, y)
∂x2∂2≈f(x+1,y)−2f(x,y)+f(x−1,y)
∂
2
∂
y
2
≈
f
(
x
,
y
+
1
)
−
2
f
(
x
,
y
)
+
f
(
x
,
y
−
1
)
\frac{\partial^2}{\partial y^2} \approx f(x, y+1) - 2f(x, y) + f(x, y-1)
∂y2∂2≈f(x,y+1)−2f(x,y)+f(x,y−1)
即
▽ 2 f ( x ) ≈ f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) \triangledown^2f(x) \approx f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1) - 4f(x, y) ▽2f(x)≈f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)
也就是说，这里的拉普拉斯算子的运算矩阵的每一个元素的数值，是其差分形式的所对应元素的系数。
因此，如果你要自行设计卷积核，那么需要根据使用卷积核函数所对应的差分形式，重新推算出新的矩阵每一项的值。
代码的基本框架
def convolution_kernel(data):
# 定义卷积核函数
kernel = np.array([[0, 1, 0],
[1, -4, 1],
[0, 1, 0]])
# 卷积核计算
# 将数组从二维转换为一维
kernel = kernel.flatten()
data = data.flatten()
# 将核函数反转后和原始数据进行计算
kernel = np.flipud(kernel)
result = kernel * data
# 返回加和后的值，并四舍五入
return round(np.sum(result))
def image_convolution(image):
# 获取图片的长宽
width, height = image.shape
backup = np.zeros(image.shape, np.uint8)
# 对图片逐像素点遍历
for i in range(1, width - 1):
for j in range(1, height - 1):
# 从图片中取出一个小矩阵，大小跟卷积核大小一致: 3x3
sub_img = image[i-1:i+2, j-1:j+2]
backup[i][j] = convolution_kernel(sub_img)
# 返回处理后的图片
return backup
-
《如何通俗易懂地解释卷积》 ，https://www.zhihu.com/question/22298352 ↩︎