1.3 齐次方程
\(n\) 次齐次函数： \(f(x,y)\)
如：\(x^2-3xy\) 为二次齐次函数，\(x^3-3x^2y+y^3\) 为三次齐次函数。
齐次微分方程：\(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)
其中，\(M(x,y)\,N(x,y)\) 是同次齐次函数。
例：\(\frac{dy}{dx}=\frac{xy-x^2}{x^2+y^2}=\frac{\frac{y}{x}-1}{1+(\frac{y}{x})^2}=f(\frac{y}{x})\)
令 \(\frac{y}{x}=u\) 即 \(y=xu\) 则 \(\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\) 代入原式并整理。
得：\(\frac{1}{f(u)-u}du=\frac{1}{x}dx\;\) 积分后： \(\int\frac{1}{f(u)-u}du=\int\frac{1}{x}dx \rightarrow F(u)=lnx+C\)
齐次微分方程通解即为：\(F(\frac{y}{x})=lnx+C\)