PCA 主成分分析
原理概述
用途 - 降维中最常用的手段
目标 - 提取最有价值的信息( 基于方差 )
问题 - 降维后的数据的意义 ?
所需数学基础概念
向量的表示
基变换
协方差矩阵
协方差
优化目标
降维实例
代码实现
"""
这里假设原始数据集为矩阵 dataMat,其中每一行代表一个样本,每一列代表同一个特征(与上面的介绍稍有不同,上 面是每一列代表一个样本,每一行代表同一个特征)。
""" import numpy as np ################################
# (1)零均值化
################################
def zeroMean(dataMat):
meanVal=np.mean(dataMat,axis=0) #按列求均值(axis=0),即求各个特征的均值
newData=dataMat-meanVal
return newData,meanVal # newData是零均值化后的数据,meanVal是每个特征的均值 ################################
# (2)求协方差矩阵
# 若rowvar=0,说明传入的数据一行代表一个样本;
# 若非0,说明传入的数据一列代表一个样本。
################################
newData,meanVal=zeroMean(dataMat)
covMat=np.cov(newData,rowvar=0) ################################
# (3)求特征值和特征矩阵
# eigVals存放特征值,行向量
# eigVects存放特征向量,每一列带别一个特征向量
# 特征值和特征向量是一一对应的
################################
eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat)) ################################
# (4)保留比较大的前n个特征向量
# 第三步得到了特征值向量eigVals,假设里面有m个特征值,我们可以对其排序,排在前面的n个特征值所对应的特征 # 向量就是我们要保留的,它们组成了新的特征空间的一组基n_eigVect
################################
eigValIndice=np.argsort(eigVals) #对特征值从小到大排序
n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1] #最大的n个特征值的下标,首先argsort对特征值是从小到大排序的,那么最大的n个特征值就排在后面,所以eigValIndice[-1:-(n+1):-1]就取出这个n个特征值对应的下标(python里面,list[a:b:c]代表从下标a开始到b,步长为c)
n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice] #最大的n个特征值对应的特征向量 ################################
# (5)获取降维后的数据
# 将零均值化后的数据乘以n_eigVect就可以得到降维后的数据
################################
lowDDataMat=newData*n_eigVect #低维特征空间的数据
reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal #重构数据
相关模块方法
sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, copy=True, whiten=False)
参数
-
n_components: int, float, None 或 string,PCA算法中所要保留的主成分个数,保留下来的特征数
- 如果 n_components = 1,将把原始数据降到一维;
- 如果赋值为string,如n_components='mle',将自动选取特征个数,使得满足所要求的方差百分比;
- 如果没有赋值,默认为None,特征个数不会改变(特征数据本身会改变)。
-
copy:True 或False
- 默认为True,即是否需要将原始训练数据复制。
- whiten:True 或False
- 默认为False,即是否白化,使得每个特征具有相同的方差
对象属性
-
explained_variance_ratio_:返回所保留各个特征的方差百分比,
- 如果n_components没有赋值,则所有特征都会返回一个数值且解释方差之和等于1。
- n_components_:返回所保留的特征个数
常用方法
- fit(X): 用数据X来训练PCA模型。
- fit_transform(X):用X来训练PCA模型,同时返回降维后的数据。
- inverse_transform(newData) :将降维后的数据转换成原始数据,但可能不会完全一样,会有些许差别。
- transform(X):将数据X转换成降维后的数据,当模型训练好后,对于新输入的数据,也可以用transform方法来降维
使用示例
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
pca = PCA(n_components=2)
newX = pca.fit_transform(X)
print(X)
[[-1 -1]
[-2 -1]
[-3 -2]
[ 1 1]
[ 2 1]
[ 3 2]]
print(newX)
array([[ 1.38340578, 0.2935787 ],
[ 2.22189802, -0.25133484],
[ 3.6053038 , 0.04224385],
[-1.38340578, -0.2935787 ],
[-2.22189802, 0.25133484],
[-3.6053038 , -0.04224385]])
print(pca.explained_variance_ratio_)
[ 0.99244289 0.00755711]
可以看出 第一个特征的占比达到了 99% 因此优化特征为1 即可
pca = PCA(n_components=1)
newX = pca.fit_transform(X)
print(pca.explained_variance_ratio_)
[ 0.99244289]
PCA 总结
优点
1) 仅仅依靠方差衡量信息量,不受数据集以外的因素影响
2)各主成分之间相互正交,可消除原始数据成分间的相互影响的因素
3)计算方法简单,主要运用特征值分解
缺点
1)主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性,不如原始样本特征的解释性强
2)方差小的主成分也有可能含有对样本差异的重要信息,由于降维丢弃可能会对后续数据处理有影响