Gym-102569C Manhattan Distance 曼哈顿距离的转换 二分

题意

给定平面上的\(n\)个整点\((x_i,y_i)\),整点之间会两两产生曼哈顿距离，求第\(k\)小的曼哈顿距离大小。

\[2 \leq n \leq 1e5\\ 1 \leq k \le \frac{n(n+1)}{2}\\ -10^8 \leq x_i,y_i \le 10^8 \]

分析

此题如果直接做会发现没什么想法

因此利用曼哈顿距离的性质：

对于点\((x_i,y_i)\)，\((x_j,y_j)\)。曼哈顿距离\(d = |x_i - x_j| + |y_i - y_j|\)，切比雪夫距离\(d' = max(|x_i - x_j|,|y_i - y_j|)\)

变换：\((x_i,y_i) => (x_i +y_i,x_i - y_i),(x_j,y_j) => (x_j +y_j,x_j - y_j)\)

那么求这两点的曼哈顿距离就等价为了求切比雪夫距离

回到这题，我们把所有点变成求切比雪夫距离。

题目变为求第\(k\)小的切比雪夫距离，这显然是可以二分答案的。问题又变为求所有点中，距离\(d \leq 给定dis\) 的对数。

显然，可以固定\(i\)，枚举\(j < i\)中符合条件的对数。根据切比雪夫距离的性质，要同时满足\(|x_i - x_j|和|y_i - y_j|\)小于等于dis，那么我们对x排序，对y建立权值树状数组表示符合条件的点，每次查询\([y-dis,y+dis]\)范围的个数，为了保证\(x\)，可以对x排序，用双指针移动来保证。

代码

struct BIT{
	vector<int> c;
	int n;
	BIT(int n):n(n),c(n + 1,0) {}
	void add(int pos,int x){
		for(;pos <= n;pos += pos & -pos)
			c[pos] += x;
	}
	int ask(int x){
		int res = 0;
		for(;x >= 1;x -= x & -x){
			res += c[x];
		}
		return res;
	}
};

vector<int> h;
ll k;
int n;
int ans;

int get(int x){
	return lower_bound(h.begin(),h.end(),x) - h.begin() + 1;
}

int check(int dis,vector<pii>& p){
	BIT bit(n);
	ll cnt = 0;
	for(int i = 1,j = 1;i <= n;i++){
		while(j < i && p[j].fi  < p[i].fi - dis) {
			bit.add(get(p[j].se),-1);
			j++;
		}
		int up = upper_bound(h.begin(),h.end(),p[i].se + dis) - h.begin() ;
		int down = lower_bound(h.begin(),h.end(),p[i].se - dis) - h.begin() + 1;
		cnt += bit.ask(up) - bit.ask(down - 1);
		bit.add(get(p[i].se),1);
	}
	return cnt;
}


signed main(){
	n = rd();
	k = rd();
	vector<pii> v(n + 1);
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int x = rd();	
		int y = rd();
		v[i] = make_pair(x + y,x - y);
		h.push_back(x - y);
	}
	sort(h.begin(),h.end());
	h.erase(unique(h.begin(),h.end()),h.end());
	sort(v.begin() + 1,v.end());
	int l = 1,r = 5e8 + 10;
	while(l <= r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if(check(mid,v) >= k) {
			ans = mid;
			r = mid - 1;
		}
		else l = mid + 1;
	}
	cout << ans;
}