【数据分析师 Level 1 】3.抽样分布及参数估计
抽样分布及参数估计
1.随机的基本概念
随机实验
随机实验是概率论的一个基本概念。概括的讲，在概率论中把符合下面三个特点的试验叫做随机试验
- 可以在相同的条件下重复的进行
- 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
- 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
随机事件
在概率论中，随机事件（或简称事件）指的是一个被赋予几率的事物的集合，也就是样本空间中的一个子集。简单来说，在一次随机试验中，某个特定时间可能会出现也可能不会出现；但是当试验次数增多，我们可以观察到某种规律性的结果，就是随机事件。
随机变量
设随机试验的样本空间
S=e,X=X(e)S = {e},X=X(e)S=e,X=X(e)
是定义在样本空间S上的单值实值函数，称X为随机变量
2.概率分布
正态分布的图像形式
既然介绍变量的分布情况，就要介绍一下正态分布。首先，正态分布是关于均值左右对称的，呈钟形，如下图所示。其次，正态分布的均值和标准差具有代表性，只要知道其均值和标准差，这个变量的分布情况就完全知道了。在正态分布中，均值=中位数=众数
3.抽样分布
中心极限定理
从均值为 μ\muμ,方差为 σ2\sigma^2σ2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，
样本均值的抽样分布近似服从均值为 μ\muμ ,方差为 σ2n\frac{\sigma^2}{n}nσ2的正态分布
根据中心极限定理，我们知道如果做很多次抽样的话会得到很多个样本均值，而这些样本均值排列起来会形成正态分布,他们的平均数是μ\muμ,标准差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ 换句话说，有约68% 的样本均值会落在 μ±σn\mu \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}μ±nσ之间，有约 95 %的样本均值会落在 μ±2σn\mu \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}μ±2nσ 有约 99.7 %的样本均值会落在 μ±3σn\mu \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}μ±3nσ
把上述说法稍微转换一下就变成：有68 %的 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ 会包含着 μ\muμ
有95 %的 x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ会包含着 μ\muμ
有99.7 %的 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ会包含着μ\muμ
而这就是抽样和估计最根本的道理
我们从全体之中以随机抽样方式抽取n个样本，取得样本观察值，计算它们的平均数 x‾\overline xx ,然后加减两倍的 σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ
得到一组上下区间，然后说：我们有95 % 的信心，这个上下区间一定会包含着全体的平均数 μ\muμ。如果我们不放心的话，可以用 x‾\overline xx 加减三倍的 σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ，那么这组区间包含着 μ\muμ 的置信度就有99.7 %
中心极限定理：不论总体是什么样的形状，只要在假定总体分布不是很偏的情况下，总体选择足够多的情况下，选取的总体样本均值就可以估计总体样本均值的指标，抽样出来的中位数、众数都可以认为和总体是差不多的，是具有代表性的
参数估计
1.点估计
用样本平均数 x‾\overline xx 来估计总体的平均数 μ\muμ 称为点估计
点估计命中目标的机会是极低的，因为只凭着少数样本观察值得到的结果
要和全体的平均数吻合几乎是不可能的事，所以我们除了用点估计，还有区间估计
根据中心极限定理和正态分布的特性我们知道 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ
这个区间包含着全体平均数 μ\muμ的机会有 68%(简洁表达，我们省去“约”)
x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ的机会有95%,而 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ的机会有99.7 %,
真正可靠的估计势必要用区间估计，只有这样做我们才可以知道估计准确度的程度，而这 68%、95%、99.7%就称做是置信水平
说的更确切一点，以95 %的置信水平为例，它的意思是：如果我们进行一百次独立抽样估计，会有一百个样本平均数，也会有一百个区间估计，而这一百个区间估计里会有95个正确地包含着全体平均数 μ\muμ
实际上我们不会做一百次抽样，而是只做一次，所以说这一次抽样而来的区间估计会包含着 μ\muμ的机会是95 %，置信水平越高，估计得区间也就越宽,这是高置信水平所必须付出的代价
2.区间估计
刚刚提到过一个好的估计必须既准又稳，我们用 x‾\overline xx 来估计 μ\muμ，如果做很多次的话，会有很多个 x‾\overline xx
中心极限定理已经给我们保证，这些 x‾\overline xx 的平均数会等于 μ\muμ
所以是[准]的估计已无问题，但是这些 x‾\overline xx是否都靠在一起，是[稳]呢？
这就要看 x‾\overline xx 的标准差了，我们已经知道x‾\overline xx的标准差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ,其中 σ\sigmaσ 是全体的标准差，
n是样本数，把样本数加大会使得标准差变小，所以我们马上领悟到样本数越大，估计也就越稳。
其次，σ\sigmaσ 是全体数据的标准差，我们并不知道它到底是多少，在区间估计我们也需要用到它，因此为了要知道估计得准确度连全体资料的\sigma也要一起估计才行
至少有两种方法来估计 σ\sigmaσ 一是用样本观察值得标准差 S，S2S^2S2的定义
S2=∑i=1n(Xi−x‾)2n−1S^2 = \frac{\sum^n_{i=1}(X_i - \overline x)^2}{n-1}S2=n−1∑i=1n(Xi−x)2
本章要求我们对抽样估计的理论、抽样的多种组织形式的掌握\定必要样本容量的原因，必要样本容量的影响因素
明确概率统计的各个知识点与业务环境、数据分析三者间的对应关系
例题
1.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（）
A.x‾\overline xx
B. μ\muμ
C.σ2\sigma^2σ2
D.σ22\frac{\sigma^2}{2}2σ2
答案：B
解析：熟悉中心极限定理的概念
2.从均值为 μ\muμ 、方差为 σ2\sigma^2σ2(有限)的任意一个总体抽取大小为n的样本 则（）
A.当n充分大时，样本均值 X‾\overline XX的分布近似服从正态分布
B.只有当n<30时，样本均值 X‾\overline XX的分布近似服从正态分布
C.样本均值 X‾\overline XX的分布与 n无关
D.无论n多大，样本均值 X‾\overline XX的分布都为非正态分布
答案：A
解析：熟悉大数定律
3.某中小企业某部门员工的年龄分布是右偏的，均值为26，标准差是4.5.如果采取重复抽样的方法从部门抽取容量为100的样本，则抽样均值的抽样分布是（）
A.正态分布，均值为26，标准差为0.45
B.分布形状未知，均值为26，标准差为4.5
C.正态分布，均值为26，标准差为4.5
D.分布形状未知，均值为26，标准差0.45
答案：A
解析：不管总体分布是何种分布，抽样分布都是符合正态分布的，对于该题中描述的对中小企业的某部门员工进行重复又放回抽样，此时100个样本量可看为已经充分大，根据中心极限定理，
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4.大样本的样本比例的抽样分布服从（）
A.正态分布
B. t分布
C. F分布
D. x2x^2x2 分布
答案：A
解析：由二项分布的原理和渐进分布的理论可知，当n充分大时，样本比例的分布可用正态分布去逼近
5.大样本的样本比例之差的抽样分布服从（）
A.正态分布
B. t分布
C. F分布
D. x2x^2x2 分布
答案：A
6.估计量的含义是指（）
A.用来估计总体参数的统计量的具体数值
B.用来估计总体参数的统计量的名称
C.总体参数的具体数值
D.总体参数的名称
答案：B
解析：熟悉估计量和估计值的定义
7.有关置信区间不正确的是
A. 100次独立抽样，产生的区间估计，会有95次的可能正确预测总体平均数
B. 1次独立抽样，产生的区间估计，会有95%的可能正确预测总体平均数
C. 100次独立抽样，产生的点估计，会有95个总体平均数一致
D. 100次独立抽样，产生的区间估计，会有95个正确地包含着总体平均数
答案：ABC
解析：置信区间是包含的概念，而不能用于预测
8.在其他条件都不变的情况下，提高置信水平（或置信度），那么置信区间会（）
A.变大
B.变小
C.不会有变化
D.有的情况变大，有的情况变小
答案：A
解析：提高置信水平就是提高置信区间 σ，则置信区间变大
Question：什么是置信水平，什么是置信区间？
9.在置信水平不变的情况下，要缩小置信区间，则需要（）
A.改变统计量的抽样标准差
B.减少样本量
C.增加样本量
D.保持样本量不变
答案：C
解析：熟悉置信区间的定义。当置信水平固定时，置信区间的宽度随样本量的增大而减小，换言之，较大的样本所提供的有关总体的信息要比较小的样本多
10.在小样本条件下，当正态总体的方差未知时，估计总体均值使用的分布是（）
A.正态分布
B. t 分布
C. F 分布
D. x2x^2x2分布
答案：B
解析：熟悉总体参数估计得不同情况
11.两个总体方差比的区间估计，使用的分布是（）
A.正态分布
B. t 分布
C. F 分布
D.x2x^2x2分布
答案：D
12.抽取一个容量为400的随机样本，其均值为80，标准差s=10，总体均值的95%的置信区间为（）
A. 80±1.96
B. 80±0.98
C. 80±0.8
D. 80±1.29
答案：B
解析:95%的置信水平为1.96，总体均值为80±1.96*10/20
13.从一个正态总体中随机抽取一个容量为n的样本，其均值和标准差分别为35和4.当n=25时，构造总体均值的95%的置信区间为（）
A. 35±1.96
B. 35±2.22
C. 35±4.97
D. 35±1.65
答案：D
解析：在正态分布下总体均值的区间估计中，由于样本量小于30，属于小样本，其当前总体标准差未知，所以采用t分布
当样本量足够大的时候，采用的是Z统计量来近似正态分布的估计
如果样本量是小于30的，采用的是t统计量来对总体均值进行估计