概率论 - 正态分布和标准正态分布的转换

引理

若随机变量 \(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\backsim N(0,1)\)

证明

由\(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\)，得 \(P(X\leq x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)

而 \(P(Z\leq x)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq x)=P(X\leq x\sigma+\mu)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x\sigma + \mu-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)

记 \(F(x)=P(X\leq x)\)，\(H(x)=P(Z\leq x)\)，

则有

\(H(x)=F(x\sigma+\mu)\)

两边关于 \(x\) 取导，有：

\(h(x)=\sigma f(x\sigma+\mu)\)

\(=\sigma (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx)'\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)

\(=\varphi(x)\)

得证。