马氏距离(Mahalanobis distance)是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示点与一个分布之间的距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系，本文介绍马氏距离相关内容。
欧氏距离的缺点
距离度量在各个学科中有着广泛用途，当数据表示为向量 x → = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T \overrightarrow{\mathbf{x} }=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} x =(x1,x2,⋯,xn)T和 y → = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) T \overrightarrow{\mathbf{y}}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T} y =(y1,y2,⋯,yn)T时，最直观的距离度量就是欧式距离了：
{% raw %}
d
(
x
,
y
)
:
=
(
x
1
−
y
1
)
2
+
(
x
2
−
y
2
)
2
+
⋯
+
(
x
n
−
y
n
)
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
d(x, y):=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}
d(x,y):=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2
=i=1∑n(xi−yi)2
{% endraw %}
但是这种度量方式没有考虑到各个维度之间的差异和相关等因素，不同的向量度量距离时权重都相同，这可能会对结果可信度产生干扰。
马氏距离
度量样本距离某个分布的距离，先将样本与分布标准化到多维标准正态分布后度量欧式距离
思想
- 将变量按照主成分进行旋转，消除维度间的相关性
- 对向量和分布进行标准化，让各个维度同为标准正态分布
推导
- 分布由 n n n个 m m m维向量刻画，即共 n n n条数据，每条数据由一个 m m m维向量表示：
{% raw %}
KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 28: …{\begin{array}{*̲{20}{c}} {{x_{1…
{% endraw %}
- X X X的均值为 μ X {\mu _X} μX
- X X X的协方差矩阵为:
∑ X = 1 n ( X − μ X ) ( X − μ X ) T \sum\nolimits_X = \frac{1}{n}(X - {\mu _X}){(X - {\mu _X})^T} ∑X=n1(X−μX)(X−μX)T
- 为消除维度间的相关性，通过一个 m × m m \times m m×m的矩阵 Q T Q^T QT对 X X X进行坐标表换，将数据映射到新的坐标系下，用 Y Y Y表示：
Y = Q T X Y=Q^TX Y=QTX
此时我们期望在 Q T Q^T QT的作用下， Y Y Y 的向量表示中，不同维度之间是相互独立的，此时 Y Y Y 的协方差矩阵应该是一个对角矩阵（除对角线元素外，其余元素均为0）。
- Y 的均值： u Y = Q T u X u_{Y}=Q^{T} u_{X} uY=QTuX
- Y 的协方差矩阵：
{% raw %}
Σ
Y
=
1
n
[
Y
−
u
Y
]
[
y
−
u
Y
]
T
=
1
n
[
Q
T
(
X
−
u
x
)
]
[
Q
T
(
X
−
u
X
)
]
T
=
Q
T
1
n
(
X
−
u
X
)
(
X
−
u
X
)
T
Q
=
Q
T
Σ
X
Q
\begin{aligned} \Sigma_{Y} &=\frac{1}{n}\left[Y-u_{Y}\right]\left[y-u_{Y}\right]^{T} \\ &=\frac{1}{n}\left[Q^{T}\left(X-u_{x}\right)\right]\left[Q^{T}\left(X-u_{X}\right)\right]^{T} \\ &=Q^{T} \frac{1}{n}\left(X-u_{X}\right)\left(X-u_{X}\right)^{T} Q \\ &=Q^{T} \Sigma_{X} Q \end{aligned}
ΣY=n1[Y−uY][y−uY]T=n1[QT(X−ux)][QT(X−uX)]T=QTn1(X−uX)(X−uX)TQ=QTΣXQ
{% endraw %}
-
从这里可以发现，当 $Q 是 是 是\Sigma_{X} 的 特 征 向 量 组 成 的 矩 阵 时 ， 的特征向量组成的矩阵时， 的特征向量组成的矩阵时，\Sigma_{Y}$ 一定是对角矩阵，且值为每个特征向量对应的特征值。由于 Σ X \Sigma_{X} ΣX是对称矩阵，因此肯定可以通过特征分解得到 Q Q Q ，且 Q Q Q 是正交矩阵。
-
Σ Y \Sigma_{Y} ΣY的对角线元素含义为 Y Y Y中每个向量的方差，因此均为非负值，从这个角度可以说明协方差矩阵的特征值为非负值。
-
而且事实上协方差矩阵本身就是半正定的，特征值均非负
-
不相关与独立的问题：
- 此处我们说明了变换后的向量之间相关系数为0，也就是向量之间不相关
- 而事实上独立是比不相关更强的约束，不相关往往不能推出独立
- 但在高斯分布下，不相关和独立是等价的
接下来我们对向量进行标准化
-
当我们减去均值后，向量已经变成了0均值的向量，距离标准化仅差将方差变为1
-
在经历了 Y = Q T X Y=Q^TX Y=QTX变换后， Y Y Y的协方差矩阵已经成为了对角阵，对角线元素为 Y Y Y中各个维度数据的方差，那么我们仅需让 Y Y Y中各个维度数据除以该维度数据的标准差即可。
-
我们将去相关化、0均值化、标准化过后的数据记为 Z Z Z：
{% raw %}
KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 45: …{\begin{array}{*̲{20}{c}} {\frac…
{% endraw %} -
而马氏距离就是度量纠正过后的向量 Z Z Z到分布中心（原点）的欧式距离：
{% raw %}
$$
\begin{array}{l}
{D_M}(X) & =
\sqrt {{Z^T}Z} \&= \sqrt {{{\left( {X - {u_X}} \right)}^T}Q{{\left( {{Q^T}{\Sigma _X}Q} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}{{\left( {{Q^T}{\Sigma _X}Q} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}{Q^T}\left( {X - {u_X}} \right)} \
&= \sqrt {{{\left( {X - {u_X}} \right)}^T}Q{{\left( {{Q^T}{\Sigma _X}Q} \right)}^{ - 1}}{Q^T}\left( {X - {u_X}} \right)} \
&= \sqrt {{{\left( {X - {u_X}} \right)}T}Q{Q{ - 1}}\Sigma _X^{ - 1}Q{Q^T}\left( {X - {u_X}} \right)} \
&= \sqrt {{{\left( {X - {u_X}} \right)}^T}\Sigma _X^{-1}\left( {X - {u_X}} \right)} \
\end{array}
$$
{% endraw %}
参考资料
- https://baike.baidu.com/item/%E9%A9%AC%E6%B0%8F%E8%B7%9D%E7%A6%BB/8927833?fr=aladdin
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/109100222