4200: [Noi2015]小园丁与老司机
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Description
小园丁 Mr. S 负责看管一片田野，田野可以看作一个二维平面。田野上有 nn 棵许愿树，编号 1,2,3,…,n1,2,3,…,n，每棵树可以看作平面上的一个点，其中第 ii 棵树 （1≤i≤n1≤i≤n） 位于坐标 (xi,yi)(xi,yi)。任意两棵树的坐标均不相同。
老司机 Mr. P 从原点 (0,0)(0,0) 驾车出发，进行若干轮行动。每一轮，Mr. P 首先选择任意一个满足以下条件的方向：
为左、右、上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 五个方向之一。
沿此方向前进可以到达一棵他尚未许愿过的树。
完成选择后，Mr. P 沿该方向直线前进，必须到达该方向上距离最近的尚未许愿的树，在树下许愿并继续下一轮行动。如果没有满足条件的方向可供选择，则停止行动。他会采取最优策略，在尽可能多的树下许愿。若最优策略不唯一，可以选择任意一种。
不幸的是，小园丁 Mr. S 发现由于田野土质松软，老司机 Mr. P 的小汽车在每轮行进过程中，都会在田野上留下一条车辙印，一条车辙印可看作以两棵树（或原点和一棵树）为端点的一条线段。
在 Mr. P 之后，还有很多许愿者计划驾车来田野许愿，这些许愿者都会像 Mr. P 一样任选一种最优策略行动。Mr. S 认为非左右方向（即上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 三个方向）的车辙印很不美观，为了维护田野的形象，他打算租用一些轧路机，在这群许愿者到来之前夯实所有“可能留下非左右方向车辙印”的地面。
“可能留下非左右方向车辙印”的地面应当是田野上的若干条线段，其中每条线段都包含在某一种最优策略的行进路线中。每台轧路机都采取满足以下三个条件的工作模式：
从原点或任意一棵树出发。
只能向上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 三个方向之一移动，并且只能在树下改变方向或停止。
只能经过“可能留下非左右方向车辙印”的地面，但是同一块地面可以被多台轧路机经过。
现在 Mr. P 和 Mr. S 分别向你提出了一个问题:
请给 Mr .P 指出任意一条最优路线。
请告诉 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。
Input
输入文件的第 1 行包含 1 个正整数 n，表示许愿树的数量。
接下来 n 行，第 i+1 行包含 2个整数 xi,yi，中间用单个空格隔开，表示第 i 棵许愿树的坐标。
Output
输出文件包括 3 行。
输出文件的第 1 行输出 1 个整数 m，表示 Mr. P 最多能在多少棵树下许愿。
输出文件的第 2 行输出 m 个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，表示 Mr. P 应该依次在哪些树下许愿。
输出文件的第 3 行输出 1 个整数，表示 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。
Sample Input
6
-1 1
1 1
-2 2
0 8
0 9
0 10
-1 1
1 1
-2 2
0 8
0 9
0 10
Sample Output
3
2 1 3
3
2 1 3
3
explanation
最优路线 2 条可许愿 3 次：(0,0)→(1,1)→(−1,1)→(−2,2)(0,0)→(1,1)→(−1,1)→(−2,2) 或 (0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)(0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)。 至少 3 台轧路机，路线是 (0,0)→(1,1)(0,0)→(1,1)，(−1,1)→(−2,2)(−1,1)→(−2,2) 和 (0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)(0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)。
HINT
Source
第一问按Y排序，map记录每个向上、左、右方向最近的点，对于y坐标相同的点按x排序，如果$x_i>x_j$，一定是从j走到最左在走回i，如果$x_i<x_j$，一定是从j走到最走在走回i。维护一个单调栈即可。
第二问只需要在DP的同时记录决策点，输出路径。
第三问相当于判断每条边是否可以存在于最长路中，然后下界为1跑最小流。如果判断每条边可以倒着DP一遍考虑是否两端和等于ans。注意，倒着DP和正着DP会有差别。
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 50050
#define S (n+1)
#define T (n+2)
#define SS (n+3)
#define TT (n+4)
using namespace std;
struct dp{int x,y,id,f,from;bool f1,f2;}a[N],b[N];
int n,f[N],g[N],X[N],Y[N];
int head[N],tot,d[N];
struct edge{int next,to,v;}e[];
inline void add(int u,int v,int w)
{
e[tot]=(edge){head[u],v,w};
head[u]=tot++;
e[tot]=(edge){head[v],u,};
head[v]=tot++;
}
int SAP(int start,int end,int n)
{
int u,neck,tmp,i,flow_ans=,cur_flow;
int numh[N],d[N],cure[N],pre[N];
memset(d,,sizeof(d));
memset(numh,,sizeof(numh));
memset(pre,-,sizeof(pre));
for(int i=;i<=n;i++)
cure[i]=head[i];
numh[]=n;
u=start;
while(d[start]<n)
{
if(u==end)
{
cur_flow=1e9;
for(i=start;i!=end;i=e[cure[i]].to)
if(cur_flow>e[cure[i]].v)
neck=i,cur_flow=e[cure[i]].v;
for(i=start;i!=end;i=e[cure[i]].to)
{
tmp=cure[i];
e[tmp].v-=cur_flow;
e[tmp^].v+=cur_flow;
}
flow_ans+=cur_flow;
u=neck;
}
for(i=cure[u];i!=-;i=e[i].next)
if(e[i].v&&d[u]==d[e[i].to]+)break;
if(i!=-)
{
cure[u]=i;
pre[e[i].to]=u;
u=e[i].to;
}
else
{
if(--numh[d[u]]==)break;
cure[u]=head[u];
for(tmp=n,i=head[u];i!=-;i=e[i].next)
if(e[i].v)tmp=min(tmp,d[e[i].to]);
d[u]=tmp+;
numh[d[u]]++;
if(u!=start)u=pre[u];
}
}
return flow_ans;
}
bool operator<(dp x,dp y)
{
if(x.y!=y.y)return x.y<y.y;
return x.x<y.x;
}
inline void update(int i,int j)
{
if(a[i].f<a[j].f+)
a[i].f=a[j].f+,a[i].from=j,a[i].f1=;
}
void print(int x,bool f)
{
if(x==n+)return;
if(!f)print(a[x].from,a[x].f1);
else print(b[x].from,);
if(!a[x].f1||f)
printf("%d ",a[x].id);
else if(!a[x].f2)
{
for(int i=a[x].from-;a[i].y==a[x].y;i--)
printf("%d ",a[i].id);
for(int i=a[x].from+;i<=x;i++)
printf("%d ",a[i].id);
}
else
{
for(int i=a[x].from+;a[i].y==a[x].y;i++)
printf("%d ",a[i].id);
for(int i=a[x].from-;i>=x;i--)
printf("%d ",a[i].id);
}
}
map<int,int>L,R,U;
void solve(int ans)
{
memset(head,-,sizeof(head));
L.clear();
R.clear();
U.clear();
for(int i=;i<=n;i++)
X[i]=a[n+-i].x,Y[i]=a[n+-i].y;
X[n+]=Y[n+]=;
for(int i=;i<=n;i++)f[i]=;
for(int l=,r,x;l<=n+;l=r+)
{
for(r=l;r<=n&&Y[r+]==Y[r];r++);
for(int i=l;i<=r;i++)
{
x=U[X[i]];
if(x)
{
f[i]=max(f[i],f[x]+);
if((a[n+-i].f||i==n+)&&a[n+-i].f+f[x]==ans)
{
add(n+-x,n+-i,1e9);
d[n+-x]--;d[n+-i]++;
}
}
x=L[X[i]+Y[i]];
if(x)
{
f[i]=max(f[i],f[x]+);
if((a[n+-i].f||i==n+)&&a[n+-i].f+f[x]==ans)
{
add(n+-x,n+-i,1e9);
d[n+-x]--;d[n+-i]++;
}
}
x=R[X[i]-Y[i]];
if(x)
{
f[i]=max(f[i],f[x]+);
if((a[n+-i].f||i==n+)&&a[n+-i].f+f[x]==ans)
{
add(n+-x,n+-i,1e9);
d[n+-x]--;d[n+-i]++;
}
}
U[X[i]]=i;
L[X[i]+Y[i]]=i;
R[X[i]-Y[i]]=i;
}
for(int i=l;i<=r;i++)g[i]=f[i];
int maxid=;
for(int i=l+;i<=r;i++)
{
if(!maxid||g[i-]+(r-i+)>g[maxid]+(r-maxid))maxid=i-;
if(f[i]<g[maxid]+(r-maxid))
f[i]=g[maxid]+(r-maxid);
}
maxid=;
for(int i=r-;i>=l;i--)
{
if(!maxid||g[i+]+(i+-l)>g[maxid]+(maxid-l))maxid=i+;
if(f[i]<g[maxid]+(maxid-l))
f[i]=g[maxid]+(maxid-l);
}
}
for(int i=;i<=n;i++)
add(S,i,1e9),add(i,T,1e9);
for(int i=;i<=n;i++)
if(d[i]>)add(SS,i,d[i]);
else add(i,TT,-d[i]);
SAP(SS,TT,TT+);
add(T,S,1e9);
SAP(SS,TT,TT+);
printf("%d\n",e[tot-].v);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y),a[i].id=i;
sort(a+,a+n+);
U[]=L[]=R[]=n+;
for(int l=,r,x;l<=n;l=r+)
{
for(r=l;r<n&&a[r+].y==a[r].y;r++);
for(int i=l;i<=r;i++)
{
x=U[a[i].x];
if(x)update(i,x);
x=L[a[i].x+a[i].y];
if(x)update(i,x);
x=R[a[i].x-a[i].y];
if(x)update(i,x);
}
for(int i=l;i<=r;i++)b[i]=a[i];
int maxid=;
for(int i=l+;i<=r;i++)
{
if(b[i-].f>b[maxid].f)maxid=i-;
if(maxid&&a[i].f<b[maxid].f+(i-l))
{
a[i].f=b[maxid].f+(i-l);
a[i].f1=;a[i].f2=;a[i].from=maxid;
}
}
maxid=;
for(int i=r-;i>=l;i--)
{
if(b[i+].f>b[maxid].f)maxid=i+;
if(maxid&&a[i].f<b[maxid].f+(r-i))
{
a[i].f=b[maxid].f+(r-i);
a[i].f1=;a[i].f2=;a[i].from=maxid;
}
}
for(int i=l;i<=r;i++)
if(a[i].f)
{
U[a[i].x]=i;
L[a[i].x+a[i].y]=i;
R[a[i].x-a[i].y]=i;
}
}
int ans=,id=n+;
for(int i=;i<=n;i++)
if(a[i].f>ans)
ans=a[i].f,id=i;
printf("%d\n",ans);
print(id,);puts("");
solve(ans);
}