BZOJ 2440 [中山市选2011]完全平方数 (二分 + 莫比乌斯函数)

2023-08-15 12:29:58

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

, T ≤ 50

Source

析：首先能够知道先进行二分答案x，这样我们就可以考虑1~x这个区间内有多少个数约数不包含完全平方数，这个我们可以考虑用容斥来解决，区间内不包含完全平方数的个数也就是总个数（也就是0个质数的倍数） - 一个质数的平方的数倍数（比如4，9，16） + 两个质数的的平方的数的倍数（比如36，64）- ....这个过程就是容斥的过程，很明显我这也正负号其实就是莫比乌斯函数，这样这个题目就可以解决了。

可能方法不好，BZOJ跑了7s多，好多大佬的代码跑几百毫秒的。。。。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include <cstdio>

#include <string>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <set>

#include <queue>

#include <algorithm>

#include <vector>

#include <map>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <stack>

#include <sstream>

#include <list>

#include <assert.h>

#include <bitset>

#include <numeric>

#define debug() puts("++++")

#define gcd(a, b) __gcd(a, b)

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

#define fi first

#define se second

#define pb push_back

#define sqr(x) ((x)*(x))

#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)

#define sz size()

#define pu push_up

#define pd push_down

#define cl clear()

//#define all 1,n,1

#define FOR(i,x,n)  for(int i = (x); i < (n); ++i)

#define freopenr freopen("in.txt", "r", stdin)

#define freopenw freopen("out.txt", "w", stdout)

using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ULL;

typedef pair<int, int> P;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const LL LNF = 1e17;

const double inf = 1e20;

const double PI = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

const int maxn = 5e4 + 10;

const int maxm = 3e5 + 10;

const LL mod = 1e9 + 7LL;

const int dr[] = {-1, 0, 1, 0};

const int dc[] = {0, -1, 0, 1};

const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};

int n, m;

const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

inline bool is_in(int r, int c) {

  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;

}

bool vis[maxn];

int prime[maxn];

int mu[maxn];

void Moblus(){

  mu[1] = 1;

  int tot = 0;

  for(int i = 2; i < maxn; ++i){

    if(!vis[i])  prime[tot++] = i, mu[i] = -1;

    for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < maxn; ++j){

      int t = i * prime[j];

      vis[t] = 1;

      if(i % prime[j] == 0)  break;

      mu[t] = -mu[i];

    }

  }

}

bool judge(LL mid){

  int t = sqrt(mid + 1);

  int ans = 0;

  for(int i = 1; i <= t; ++i)

    ans += mu[i] * mid / i / i;

  return ans >= n;

}

int main(){

  Moblus();

  int T;  cin >> T;

  while(T--){

   scanf("%d", &n);

   LL l = 1, r = n * 2;

   while(l < r){

    LL mid = l + r >> 1;

    if(judge(mid))  r = mid;

    else l = mid + 1;

   }

   printf("%d\n", l);

  }

  return 0;

}

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