几何代数59 ----平面二次曲线的分类
学习李建平教授空间解析几何的分享笔记。
目录平面二次曲线方程
\[F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. \]回顾：通过平面直角坐标变换，可化简平面二次曲线方程， 从而快速判定曲线的图形 .
问题1：平面二次曲线的图形有哪几种 ？
问题2：什么是平面二次曲线在坐标变换下的不变量？ 如何根据不变量来判定曲线的图形 ？
1、消去二次交叉项 ——利用线性代数知识
回顾：
作适当的转轴变换可以消去平面二次曲线方程中的二次交叉项
平面二次曲线方程：
\[F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. \]$ G(x,y) = \mathbf{x }^TA \mathbf{x },\mathbf{x }= \binom{x}{y},\color{blue}{A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}}$$, \mathbf{b }=\binom{2a_1}{2a_2},c=a_0 $
$F(x,y)=\mathbf{x }^TA \mathbf{x }+\mathbf{b }^T \mathbf{x }+c $
消去二次交叉项:
$\Large\color{orange}{转轴变换：} $$\begin{cases} x= x' cos\theta -y'sin \theta \ y= x' sin\theta +y'cos\theta \end{cases} $, \(\Rightarrow\) $\bbox[pink]{\binom{x}{y}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix}\binom{x'}{y'} } $
\(\Large\color{orange}{转轴矩阵：}\)\(R =\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix} ,\)$ \large\mathbf{x }'=\binom{x'}{y'} $
$