[JSOI 2011]分特产

2023-08-15 07:54:40

Description

JYY 带队参加了若干场ACM/ICPC 比赛，带回了许多土特产，要分给实验室的同学们。

JYY 想知道，把这些特产分给N 个同学，一共有多少种不同的分法？当然，JYY 不希望任何一个同学因为没有拿到特产而感到失落，所以每个同学都必须至少分得一个特产。

例如，JYY 带来了2 袋麻花和1 袋包子，分给A 和B 两位同学，那么共有4 种不同的分配方法：

A：麻花，B：麻花、包子

A：麻花、麻花，B：包子

A：包子，B：麻花、麻花

A：麻花、包子，B：麻花

Input

输入数据第一行是同学的数量N 和特产的数量M。

第二行包含M 个整数，表示每一种特产的数量。

N, M 不超过1000，每一种特产的数量不超过1000

Output

输出一行，不同分配方案的总数。由于输出结果可能非常巨大，你只需要输出最终结果MOD 1,000,000,007 的数值就可以了。

Sample Input

5 4
1 3 3 5

Sample Output

384835

题解

想到了隔板法，想到了容斥...就是不知道怎么写...

对于总共$n$个人，很容易想到第$i$个物品，分出的方案数为$C^{n-1} _{a[i]+n-1}$，其中$a[i]$为个数（隔板法）。

但是这样做就会导致有人分不到特产。

考虑容斥，我们-一个人分不到的情况+两个人分不到的情况-三个人...

我们直接限定隔板的数目来强制一些人分不到特产，即方案数变为$C^{n-1-i} _{a[j]+n-1-i}$，其中$i$个人强制分不到，第$j$个物品。

注意最后，因为分不到的人可以是任意的，所以每次容斥还要*$C^i _n$。

 //It is made by Awson on 2017.9.25

 #include <set>

 #include <map>

 #include <cmath>

 #include <ctime>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <string>

 #include <cstdio>

 #include <vector>

 #include <cstdlib>

 #include <cstring>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

 #define LL long long

 using namespace std;

 const int N = ;

 const int MOD = ;

 int n, m, mx;

 int a[N+];

 int C[N*+][N*+];

 void work() {

     scanf("%d%d", &n, &m);

     for (int i = ; i <= m; i++) {

         scanf("%d", &a[i]);

         mx = Max(mx, a[i]);

     }

     mx += n;

     for (int i = ; i <= mx; i++) {

         C[i][] = ;

         for (int j = ; j <= i; j++)

             C[i][j] = (C[i-][j-]+C[i-][j])%MOD;

     }

     LL ans = ;

     for (int i = ; i < n; i++) {

         LL cnt = ;

         for (int j = ; j <= m; j++)

             cnt = cnt*C[a[j]+n--i][n--i]%MOD;

         cnt = cnt*C[n][i]%MOD;

         if (i%) ans = (ans+MOD-cnt)%MOD;

         else ans = (ans+cnt)%MOD;

     }

     printf("%lld\n", ans);

 }

 int main() {

     work();

     return ;

 }

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