cf1615f LEGOndary Grandmaster
对于两个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串 \(s,t\) ，你可以对 \(s\) 进行两种操作：把相邻两个 \(00\) 变成 \(11\) 或把相邻两个 \(11\) 变成 \(00\) ，定义 \(s\) 到 \(t\) 的距离为最少操作次数使得 \(s\) 变成 \(t\) ，如过没法变则距离为 \(0\) 。
现在你有两个不完整的字符串，可以把其中的 \(??\) 变成 \(0\) 或 \(1\) ，求所有情况所得到的两个 \(01\) 串的距离之和。
多测，有 \(T\) 组数据.
\(1\leq T\leq 1000,1\leq |s|=|t|\leq 2000,1\leq \sum |s|\leq 2000\)
这个 \(00\to 11,11\to 00\) 的操作是无法简单统计出 \(s\to t\) 的操作数的.
这里用到一个我想了很久没有想到的套路，把 \(s,t\) 偶数位的 \(01\) 翻转，操作就可以看成是 \(01\to 10,10\to 01\) ，这就成了交换相邻两位了. 非常妙.
此时，对于 \(s\) 可以交换相邻两位，得到 \(t\) 的操作数是，令 \(s\) 中第 \(i\) 个 \(1\) 的位置 \(ps_i\) 和 \(t\) 中第 \(i\) 个 \(1\) 的位置 \(pt_i\) , 操作数和即为 \(\sum |ps_i-pt_i|\) .
令 \(f(i,j)\) 为 \(s\) 串匹配最后一个 \(1\) 的位置 \(i\) ，\(t\) 串匹配到的最后一个 \(1\) 的位置为 \(j\) 的操作数，\(g(i,j)\) 是\(s\) 串匹配最后一个 \(1\) 的位置 \(i\) ，\(t\) 串匹配到的最后一个 \(1\) 的位置为 \(j\) 的串的数量.
可以得到转移 \(f(i,j)=\sum\limits_{lst_i}^i \sum\limits_{lst_j}^j f(i',j')+|i-j|g(i',j')\) .
这个 $\sum\sum $ 可以用前缀和解决.
时间复杂度 : \(O(\sum|s|^2)\)
空间复杂度 : \(O(|s|^2)\)
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+10;
const int inf=1e9+10;
const int mod=1e9+7;
int T;
int n;
string s,t;
int f[N][N],g[N][N],cnt[N][N],S[N][N];
bool oks[N],okt[N],valid[N][N];
inline void upd(int&x,int y){x=(x+y)%mod;}
void solve(){
cin>>n>>s>>t;
for(int i=0;i<n;i+=2){
if(s[i]=='0')s[i]='1';
else if(s[i]=='1')s[i]='0';
}
for(int i=0;i<n;i+=2){
if(t[i]=='0')t[i]='1';
else if(t[i]=='1')t[i]='0';
}
for(int i=0;i<n;i++){
bool ok=true;
for(int k=0;k<i;k++)if(s[k]=='1')ok=false;
if(s[i]=='0')ok=false;
if(!ok)continue;
for(int j=0;j<n;j++){
ok=true;
for(int k=0;k<j;k++)if(t[k]=='1')ok=false;
if(t[j]=='0')ok=false;
if(!ok)continue;
valid[i][j]=true;
}
}
oks[n]=okt[n]=true;
for(int i=n-1;i>=0;i--)oks[i]=s[i]!='1'?oks[i+1]:0;
for(int i=n-1;i>=0;i--)okt[i]=t[i]!='1'?okt[i+1]:0;
for(int i=0;i<n;i++){
int pos=0;
for(int j=i-1;j>=0;j--){
pos=j;
if(s[j]=='1')break;
}
int sum1=0,sum2=0;
for(int j=0;j<n;j++){
if(s[i]!='0'&&t[j]!='0'){
upd(cnt[i][j],sum1);
upd(cnt[i][j],valid[i][j]);
upd(f[i][j],(1ll*cnt[i][j]*abs(i-j)%mod+sum2)%mod);
}
if(t[j]=='1')sum1=sum2=0;
upd(sum1,((i?S[i-1][j]:0)-(pos?S[pos-1][j]:0)+mod)%mod);
upd(sum2,((i?g[i-1][j]:0)-(pos?g[pos-1][j]:0)+mod)%mod);
}
for(int j=0;j<n;j++)S[i][j]=((i?S[i-1][j]:0)+cnt[i][j])%mod;
for(int j=0;j<n;j++)g[i][j]=((i?g[i-1][j]:0)+f[i][j])%mod;
}
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)if(oks[i+1]&&okt[j+1])upd(ans,f[i][j]);
cout<<ans<<endl;
for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++)f[i][j]=g[i][j]=cnt[i][j]=S[i][j]=0;
for(int i=0;i<=n;i++)oks[i]=okt[i]=0;
for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=n;j++)valid[i][j]=0;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>T;
while(T--){
solve();
}
return 0;
}
/*inline? ll or int? size? min max?*/