Given an infinite number of quarters (25 cents), dimes (10 cents), nickels (5 cents) and pennies (1 cent), find how many ways to represent n cents.
思路：
从最大面值的硬币开始分析，然后依次看更小面值的硬币。假设 n = 100, 所有 valid 排列组合中
num_quarters = 0 的是一类，
num_quarters = 1 的是一类，
。。。
num_quarters = 4 的是一类
num_quarters = 0 的子集中，num_dimes = 0的是一类，num_dimes = 1的是一类，。。。
按照这种思路，可以简单的用下面的代码实现：
public int makeChange(int amount) {
int[] denoms = {25, 10, 5, 1};
return makeChange(amount, denoms, 0);
}
public int makeChange(int amount, int[] denoms, int index) {
if(index == denoms.length - 1)
return 1;
int ways = 0;
for(int i = 0; i <= amount / denoms[index]; ++i){
ways += makeChange(amount - i * denoms[index], denoms, index+1);
}
return ways;
}
上面的代码是正确的，但是不够efficient，因为存在重复运算，比如一共有60 cents时，子集A{num_quarters=2, num_dimes=0}和子集B{num_quarters=0, num_dimes=5}是相同的，计算了两次。为了避免这种情况，下面的代码进行了优化
int makeChange(int n){
int[] denoms = {25, 10, 5, 1};
int[][] map = new int[n+1][denoms.length];
return makeChange(n, denoms, 0, map);
}
int makeChange(int amount, int[] denoms, int index, int[][] map){
if(map[amount][index] > 0){
return map[amount][index];
}
if(index >= denoms.length - 1)
return 1;
int denomAmount = denoms[index];
int ways = 0;
for(int i = 0; i * denomAmount <= amount; i++){
int amountRemaining = amount - i * denomAmount;
ways += makeChange(amountRemaining, denoms, index +1 , map);
}
map[amount][index] = ways;
return ways;
}