洛谷P2764 最小路径覆盖问题(最大流)

传送门

先说做法:把原图拆成一个二分图,每一个点被拆成$A_i,B_i$,若原图中存在边$(u,v)$,则连边$(A_u,B_v)$,然后$S$对所有$A$连边,所有$B$对$T$连边,然后跑一个最大流求二分图的最大匹配,那么最小路径覆盖就就是点数减去最大匹配

证明:设一开始的时候每一条路径都只覆盖一个点,然后考虑如何把两条路径合起来。因为两条路径不能相交,所以在二分图上一条路径必定是增广路,而这一条增广路上的匹配数就是被合并的边数,也就是减少的路径数。所以只要求出最大匹配,再用一开始的$n$条路径减去最大匹配就行了

 //minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
#define num ch-'0'
char ch;bool flag=;int res;
while(!isdigit(ch=getc()))
(ch=='-')&&(flag=true);
for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
(flag)&&(res=-res);
#undef num
return res;
}
char sr[<<],z[];int C=-,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
inline void print(int x){
if(C><<)Ot();
while(z[++Z]=x%+,x/=);
while(sr[++C]=z[Z],--Z);
}
const int N=,M=,inf=0x3f3f3f3f;
int head[N],Next[M],ver[M],edge[M],cur[N],las[N],tot=,vis[N];
int n,m,s,t,dep[N];
queue<int> q;
inline void add(int u,int v,int e){
ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=;
}
bool bfs(){
while(!q.empty()) q.pop();
memset(dep,-,sizeof(dep));
for(int i=;i<=*n+;++i) cur[i]=head[i];
q.push(s),dep[s]=;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
int v=ver[i];
if(dep[v]<&&edge[i]){
dep[v]=dep[u]+,q.push(v);
if(v==t) return true;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int u,int limit){
if(!limit||u==t) return limit;
int flow=,f;
for(int i=cur[u];i;i=Next[i]){
int v=ver[i];cur[u]=i;
if(dep[v]==dep[u]+&&(f=dfs(v,min(limit,edge[i])))){
flow+=f,limit-=f;
edge[i]-=f,edge[i^]+=f;
las[u]=v;
if(!limit) break;
}
}
return flow;
}
int dinic(){
int flow=;
while(bfs()) flow+=dfs(s,inf);
for(int i=;i<=n;++i)
if(!vis[i]){
int now=i;
print(now),sr[++C]=' ';
vis[now]=;
while(las[now]){
print(las[now]-n),sr[++C]=' ';
now=las[now]-n;
vis[now]=;
}
sr[++C]='\n';
}
return flow;
}
int main(){
n=read(),m=read();
s=,t=*n+;
for(int i=;i<=n;++i) add(s,i,),add(i+n,t,);
for(int i=;i<=m;++i){
int u=read(),v=read();
add(u,v+n,);
}
print(n-dinic()),sr[++C]='\n';
Ot();
return ;
}
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