GAN的定义
GAN是一个评估和学习生成模型的框架。生成模型的目标是学习到输入样本的分布，用来生成样本。GAN和传统的生成模型不同，使用两个内置模型以“对抗”的方式来使学习分布不断接近输入样本分布。两个模型一个是生成式模型（Generative model），用来生成样本；另一个是判别式模型（Discriminative model），用来判断样本是否真实而不是来自生成模型。生成模型并不直接学习输入样本的分布，而是通过“欺骗”判别模型的方式提高输入分布的逼近程度；判别模型则是使用生成样本和真实样本来提高判别准确率。
对于生成模型$G$和判别模型$D$，GAN的要实现的就是：
$\min\limits_{D}\max\limits_{G} V(D,G)$
$ V(D,G) = E_{x\sim p_{data}}[\log_{}D(x)] + E_{z\sim p_z}[\log_{}(1-D(G(z)))]$
其中$p_z$是随机数$z$的分布，通常是均匀分布。$G(z)$就是基于这个随机数，生成的样本。$D(x)$就是样本$x$为真实样本的概率。使用随机梯度的方法进行优化的过程如下：
每次分别随机拿到$m$个真实和生成样本用来对函数（$\theta_d$、$\theta_g$分别包含在$D$和$G$中）
$\displaystyle f(\theta_d) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}[\log_{}D(x^{(i)})+\log_{}(1-D(G(z^{(i)})))]$
梯度上升，也就是优化判别模型；再生成$m$个样本用来对函数
$\displaystyle g(\theta_g) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}[\log_{}(1-D(G(z^{(i)})))]$
梯度下降也就是优化生成模型。最终二者都达到最优。
以下是拟合的过程图：
黑点线是样本$x$的真实分布，绿线是样本$x$的生成模型分布，蓝虚线是判别模型判断$x$属于真实的概率，下方的$z$是均匀分布随机数$z$到生成样本$x$的映射。
a图是初始化时，判别模型$D$和生成模型$G$都很差。
b图是取样本来更新$D$，$D$在此刻变为最优。也就是说，在当前的$G$下，对于每个$x$，都能正确得出它是真实样本的概率：
$\displaystyle D(x) = \frac{p_{data}}{p_{data}+p_g}$，
证明在后面，不过想想也是这么一回事。比如看绿线和黑点线中间的交叉点，此时$x$的真实概率为0.5。
c图是更新$G$，$G$在此刻$D$的基础上变得不错了。
d图是一直迭代到最后，$G$和真实分布一模一样，而$D$的判断概率全是0.5。但是，一模一样也不是很好。因为样本集总是有限的，并不能完全契合样本全体的分布，所以如果生成分布和样本集分布一模一样的话可能会过拟合。
全局最优
对任意给定的$G$，最优的$D$对每个样本$x$，都有：
$D_G^*(x) = \displaystyle \frac{p_{data}}{p_{data}+p_g}$
因为要最大化$\theta_d$的函数：
$\displaystyle V(G,D) = \int_x p_{data}(x)\log_{}(D(x)) + p_g(x)\log_{}(1-D(x))dx$
也就是对于每个$x$，积分函数都取最大值。而函数
$h(y) = a\log_{}(y)+b\log_{}(1-y),a\ge 0,b\ge 0$
在
$\displaystyle y^*=\frac{a}{a+b}$
时最大。因为$0< y < y^*$时$h'(y)$大于零，而$y^*< y < 1$时$h'(y)$小于零。因此得证。
假如$G$训练到了最优，也就是输出分布与输入样本分布相同，即$p_{data}=p_g$，而$D$也最优时，有：
$\displaystyle V(D,G) = E_{x\sim p_{data}}\left[\log_{}\frac{p_{data}(x)}{p_{data}(x)+p_g(x)}\right] + E_{x\sim p_g}\left[\log_{}\frac{p_{g}(x)}{p_{data}(x)+p_g(x)}\right]$
$\displaystyle = E_{x\sim p_{data}}\left[\log_{}\frac{1}{2}\right] + E_{x\sim p_g}\left[\log_{}\frac{1}{2}\right]=-\log_{}4$