Chapter13：最优化和线性化
13.最优化和线性化
13.1 最优化
最优化：找出各种可能情况中最好的一种
13.1.1 最优化问题的一般方法
可使用隐函数求导
例子：
13.2 线性化
线性化：一种对难计算的量找出其估算值的有用技术
本质上就是用切线上的值估算曲线上的值
例子：
f
(
11
)
=
11
f(11)=\sqrt{11}
f(11)=11
比较难计算，我们现在用
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
9
x=9
x=9 处的切线
L
(
x
)
L(x)
L(x)，其在
x
=
11
x=11
x=11 处的值来估算
11
\sqrt{11}
11
因为
9
\sqrt{9}
9
最接近
11
\sqrt{11}
11
且
9
\sqrt{9}
9
容易计算
13.2.1 线性化问题的一般方法
如何理解
f
′
(
x
)
(
x
−
a
)
f'(x)(x-a)
f′(x)(x−a) 见本人博客：
单变量微积分第五章中5.2.7：传送门
13.2.2 微分
例子1：
例子2：
13.2.3 近似中的误差
r
(
x
)
r(x)
r(x) 的符号取决于
f
′
′
(
c
)
f''(c)
f′′(c)
13.2.4 证明误差方程
r
(
x
)
=
1
2
f
′
′
(
c
)
(
x
−
a
)
2
r(x)=\frac{1}{2}f''(c)(x-a)^2
r(x)=21f′′(c)(x−a)2
例子：
13.3 牛顿法（寻找方程的近似解/根）
13.3.1 牛顿法的基本思想
牛顿法的基本思想是，通过使用 f f f 在 x = a x=a x=a 处的线性化来改善估算
L
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
L
(
x
)
=
0
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
=
0
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
=
−
f
(
a
)
x
−
a
=
−
f
(
a
)
f
′
(
a
)
x
=
a
−
f
(
a
)
f
′
(
a
)
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\\ ~\\ L(x)=0\\ ~\\ f(a)+f'(a)(x-a)=0\\ ~\\ f'(a)(x-a)=-f(a)\\ ~\\ x-a=-\frac{f(a)}{f'(a)}\\ ~\\ x=a-\frac{f(a)}{f'(a)}
L(x)=f(a)+f′(a)(x−a) L(x)=0 f(a)+f′(a)(x−a)=0 f′(a)(x−a)=−f(a) x−a=−f′(a)f(a) x=a−f′(a)f(a)
下一次近似时，以函数在
x
=
b
x=b
x=b 的切线线性化，假设为
L
1
(
x
)
L_1(x)
L1(x)，令
L
1
(
x
)
=
0
L_1(x)=0
L1(x)=0 求出近似根，以此迭代，直到逼近实际根
13.3.2 牛顿法失效的情况
f
(
x
)
=
x
3
f(x)=\sqrt[3]{x}
f(x)=3x
，方程
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f(x)=0 的唯一解为
x
=
0
x=0
x=0，如果用牛顿法