Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化

13.最优化和线性化

13.1 最优化

最优化:找出各种可能情况中最好的一种

13.1.1 最优化问题的一般方法

Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化可使用隐函数求导
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化

例子:
Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化

13.2 线性化

线性化:一种对难计算的量找出其估算值的有用技术

本质上就是用切线上的值估算曲线上的值

例子:
f ( 11 ) = 11 f(11)=\sqrt{11} f(11)=11 ​ 比较难计算,我们现在用 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = 9 x=9 x=9 处的切线 L ( x ) L(x) L(x),其在 x = 11 x=11 x=11 处的值来估算 11 \sqrt{11} 11
因为 9 \sqrt{9} 9 ​ 最接近 11 \sqrt{11} 11 ​ 且 9 \sqrt{9} 9 ​ 容易计算
Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化

13.2.1 线性化问题的一般方法

Chapter13:最优化和线性化

如何理解 f ′ ( x ) ( x − a ) f'(x)(x-a) f′(x)(x−a) 见本人博客:
单变量微积分第五章中5.2.7:传送门

13.2.2 微分

Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化

例子1:
Chapter13:最优化和线性化
例子2:
Chapter13:最优化和线性化

13.2.3 近似中的误差

Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化

r ( x ) r(x) r(x) 的符号取决于 f ′ ′ ( c ) f''(c) f′′(c)
Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化

13.2.4 证明误差方程

r ( x ) = 1 2 f ′ ′ ( c ) ( x − a ) 2 r(x)=\frac{1}{2}f''(c)(x-a)^2 r(x)=21​f′′(c)(x−a)2
Chapter13:最优化和线性化

例子:
Chapter13:最优化和线性化

13.3 牛顿法(寻找方程的近似解/根)

13.3.1 牛顿法的基本思想

牛顿法的基本思想是,通过使用 f f f 在 x = a x=a x=a 处的线性化来改善估算

Chapter13:最优化和线性化

L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )   L ( x ) = 0   f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) = 0   f ′ ( a ) ( x − a ) = − f ( a )   x − a = − f ( a ) f ′ ( a )   x = a − f ( a ) f ′ ( a ) L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\\ ~\\ L(x)=0\\ ~\\ f(a)+f'(a)(x-a)=0\\ ~\\ f'(a)(x-a)=-f(a)\\ ~\\ x-a=-\frac{f(a)}{f'(a)}\\ ~\\ x=a-\frac{f(a)}{f'(a)} L(x)=f(a)+f′(a)(x−a) L(x)=0 f(a)+f′(a)(x−a)=0 f′(a)(x−a)=−f(a) x−a=−f′(a)f(a)​ x=a−f′(a)f(a)​
Chapter13:最优化和线性化
下一次近似时,以函数在 x = b x=b x=b 的切线线性化,假设为 L 1 ( x ) L_1(x) L1​(x),令 L 1 ( x ) = 0 L_1(x)=0 L1​(x)=0 求出近似根,以此迭代,直到逼近实际根

13.3.2 牛顿法失效的情况

Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化
f ( x ) = x 3 f(x)=\sqrt[3]{x} f(x)=3x ​,方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0 的唯一解为 x = 0 x=0 x=0,如果用牛顿法
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化
Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化

Chapter13:最优化和线性化

上一篇:敲代码的第五天:不知名(c++)


下一篇:蓝桥杯2014年第五届真题——拼接平方数(C/C++)