[模板] BSGS

求一种特殊同余方程，\(a^x≡b\ (mod \ P)\) 的最小整数解，其中 \(a \ P\) 互质 的一种算法。

又叫做 Baby Step,Giant Step（大步小步）算法。

算法

设 \(x=i*t-j\)，其中 \(i=\sqrt{p}\) ，\(0\leq j \leq t-1\)，则方程变为 \(a^{i*t-j}\equiv b\pmod{p}\)。

移项可得，\(a^{i*t}\equiv a^j*b\pmod{p}\)，其中 \(i\in[0,t]\)。

注意特判何时无解的情况。

具体可以左右分布，通过 \(map\) 来计算。

总复杂度 \(\text O(\sqrt{p})\) 。

P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
template <typename T>
inline T read(){
	T x=0;char ch=getchar();bool fl=false;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')fl=true;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
	}
	return fl?-x:x;
}
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#define LL long long
unordered_map <LL,int> Hash;
LL a,b,p;
#define read() read<LL>()
LL power(LL a,LL b,LL P){
	LL res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=1LL*res*a%P;
		a=1LL*a*a%P;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int Bsgs(LL a,LL b,LL P){
	LL t=(LL)sqrt(P);
	for(int j=0;j<t;j++){//小步：把a^j*b加入哈希表,映射到j
		LL val=1LL*b*power(a,j,P)%P;
		Hash[val]=j;
	}
	//大步：处理 (a^t)^i
	a=power(a,t,P);//a^t
	if(a==0)return b==0?1:-1;//warning!!（对于此题来说多余，但是很细节）
	for(int i=0;i<=t;i++){
		LL val=power(a,i,P);//(a^t)^i
		int j=Hash.find(val)==Hash.end()?-1:Hash[val];
		if(j>=0 && i*t-j>=0)return i*t-j;
	}
	return -1;
}
int main(){
	p=read();a=read();b=read();//a^x=b(mod p)
	//O(sqrt(p))
	int ans=Bsgs(a,b,p);
	if(ans==-1)puts("no solution");
	else printf("%d\n",ans);
	return 0;
}