一、分块
分块的本质是分治。与线段树不同的是,它不是合并两个儿子,而是合并连续的几块。分块常用于不能“快速合并”的情况。
1. 静态分块
内涵就是预处理到块。
经典的区间众数(强制在线)思路:
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预处理 \(ans[l,r]\) 数组,记录 \([l,r]\) 块的信息(区间众数);
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对于询问,如果在一块内,直接暴力,不超过 \(O(\sqrt n)\) ;
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不在一块内,要么是 \(ans[bl,br]\) ,要么在“零散块”里出现,所以要统计零散块里出现的数字在整个询问区间 \([l,r]\) 中的出现次数;
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枚举“零散块”里的数字已经是 \(O(\sqrt n)\) 级别了——开一个“前缀桶”, \(O(1)\) 求出连续块中的情况,再对“零散块”开桶跑 \(\sqrt n\) 暴力。
问题是 \(ans\) 数组怎么求:没有听懂 * 1。
2. 动态分块
有 6 个子问题:
- 单点修改 \(O(1)\) ,区间查询 \(O(\sqrt n)\) ;
- 单点修改 \(O(\sqrt n)\) ,区间查询 \(O(1)\) ;
- 区间修改 \(O(1)\) ,单点查询 \(O(\sqrt n)\) ;
- 区间修改 \(O(\sqrt n)\) ,单点查询 \(O(1)\) ;
- 插入 \(O(1)\) ,求第 \(k\) 小 \(O(\sqrt n)\) ;
- 插入 \(O(\sqrt n)\) ,求第 \(k\) 小 \(O(1)\) ;
有对应的解决思路:
- 直接修改;
- 修改自己块的和后面块的,差分;
- 差分转化为情况2;
- 逐块打标记;
- 值域分块;
- 值域分块,维护第 \(k\) 小在第几块和每一块内的数。
二、莫队
1. 莫队
P1972 HH 的项链(72分)。离线下,从一个询问区间转移到下一个——排序询问,存在一种询问序列,使得这个暴力达到 \(O(n \sqrt n)\) 级别。
排序方式:分块,以左端点所在块为第一关键字,右端点为第二关键字。
为什么是对的?分类讨论。
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\(l_i\) 和 \(l_{i+1}\) 在同一块内:时间复杂度为 \(O(|l_i-l_{i+1}|+|r_i|)\) ,前者 \(O(\sqrt n)\) 级别,后者加起来 \(O(n)\) 。
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\(l_i\) 和 \(l_{i+1}\) 不在同一块内:加起来 \(O(n)\) 。
1/2 常数优化:奇偶性分,右端点从小到大还是从大到小。
用值域分块平衡复杂度:没有听懂 * 2 。
2. 树上莫队
将树化为链,转为普通莫队。
写出“入栈出栈序”,如果 \(x\) 是 \(y\) 的 LCA ,则取出 \(fir_x\) 到 \(fir_y\) ,否则取出 \(fir_x\) 到 \(sec_y\) 。取出的序列中出现奇数次的点在 \(x\) 到 \(y\) 的路径上,否则不在。注意,会漏掉 LCA ,要补上。
3. 回滚莫队
不删除莫队,应付只能插入不能删除的情况。
“离线静态分块和朴素莫队的并集。”——ckw
没有听懂 * 3。