根号算法学习笔记

一、分块

分块的本质是分治。与线段树不同的是,它不是合并两个儿子,而是合并连续的几块。分块常用于不能“快速合并”的情况

1. 静态分块

内涵就是预处理到块

经典的区间众数(强制在线)思路:

  1. 预处理 \(ans[l,r]\) 数组,记录 \([l,r]\) 块的信息(区间众数);

  2. 对于询问,如果在一块内,直接暴力,不超过 \(O(\sqrt n)\) ;

  3. 不在一块内,要么是 \(ans[bl,br]\) ,要么在“零散块”里出现,所以要统计零散块里出现的数字在整个询问区间 \([l,r]\) 中的出现次数;

  4. 枚举“零散块”里的数字已经是 \(O(\sqrt n)\) 级别了——开一个“前缀桶”, \(O(1)\) 求出连续块中的情况,再对“零散块”开桶跑 \(\sqrt n\) 暴力。

问题是 \(ans\) 数组怎么求:没有听懂 * 1。

2. 动态分块

有 6 个子问题:

  1. 单点修改 \(O(1)\) ,区间查询 \(O(\sqrt n)\) ;
  2. 单点修改 \(O(\sqrt n)\) ,区间查询 \(O(1)\) ;
  3. 区间修改 \(O(1)\) ,单点查询 \(O(\sqrt n)\) ;
  4. 区间修改 \(O(\sqrt n)\) ,单点查询 \(O(1)\) ;
  5. 插入 \(O(1)\) ,求第 \(k\) 小 \(O(\sqrt n)\) ;
  6. 插入 \(O(\sqrt n)\) ,求第 \(k\) 小 \(O(1)\) ;

有对应的解决思路:

  1. 直接修改;
  2. 修改自己块的和后面块的,差分;
  3. 差分转化为情况2;
  4. 逐块打标记;
  5. 值域分块;
  6. 值域分块,维护第 \(k\) 小在第几块和每一块内的数。

二、莫队

1. 莫队

P1972 HH 的项链(72分)。离线下,从一个询问区间转移到下一个——排序询问,存在一种询问序列,使得这个暴力达到 \(O(n \sqrt n)\) 级别。

排序方式:分块,以左端点所在块为第一关键字,右端点为第二关键字。

为什么是对的?分类讨论。

  1. \(l_i\) 和 \(l_{i+1}\) 在同一块内:时间复杂度为 \(O(|l_i-l_{i+1}|+|r_i|)\) ,前者 \(O(\sqrt n)\) 级别,后者加起来 \(O(n)\) 。

  2. \(l_i\) 和 \(l_{i+1}\) 不在同一块内:加起来 \(O(n)\) 。

1/2 常数优化:奇偶性分,右端点从小到大还是从大到小。

用值域分块平衡复杂度:没有听懂 * 2 。

2. 树上莫队

将树化为链,转为普通莫队。

写出“入栈出栈序”,如果 \(x\) 是 \(y\) 的 LCA ,则取出 \(fir_x\) 到 \(fir_y\) ,否则取出 \(fir_x\) 到 \(sec_y\) 。取出的序列中出现奇数次的点在 \(x\) 到 \(y\) 的路径上,否则不在。注意,会漏掉 LCA ,要补上。

3. 回滚莫队

不删除莫队,应付只能插入不能删除的情况。

“离线静态分块和朴素莫队的并集。”——ckw

没有听懂 * 3。

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