游戏match（【CCF】NOI Online能力测试2 提高组第三题）

2024-04-02 16:43:52

题目背景

1s 512M

题目描述

小 A 和小 B 正在玩一个游戏：有一棵包含 n=2m个点的有根树（点从1∼n 编号），它的根是 1 号点，初始时两人各拥有 m 个点。游戏的每个回合两人都需要选出一个自己拥有且之前未被选过的点，若对手的点在自己的点的子树内，则该回合自己获胜；若自己的点在对方的点的子树内，该回合自己失败；其他情况视为平局。游戏共进行 m 回合。

作为旁观者的你只想知道，在他们随机选点的情况下，第一次非平局回合出现时的回合数的期望值。

为了计算这个期望，你决定对于 k=0,1,2,⋯,m，计算出非平局回合数为 k 的情况数。两种情况不同当且仅当存在一个小 A 拥有的点 x，小 B 在 x 被小 A 选择的那个回合所选择的点不同。

由于情况总数可能很大，你只需要输出答案对 998244353 取模后的结果。

输入格式

第一行一个正整偶数 n 表示树的结点数。

第二行一个长度为 n 的 01 字符串，第 i 个字符为 00 表示 i 号点被小 A 拥有，否则被小 B 拥有。保证 0、1 的个数相同。

接下来 n-1 行每行两个正整数 u, v，表示树中的一条边。

输出格式

共2/n +1 行每行一个整数，第 i 行的整数表示k=i−1 时的答案。
补充提示：
输出格式为一行2/n +1 个数或 2/n +1行每行一个数均可

输入输出样例

输入 #1

8
10010011
1 2
1 3
2 4
2 5
5 6
3 7
3 8

输出 #1

0
10
10
4
0

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5050, P = 998244353;
int m, n, sz0[N], sz1[N], sz[N], c[N][N], A[N], B[N]; 
int dp[N][N];
vector <int> g[N];
int add(int a, int b){
    return a + b >= P ? a + b - P : a + b; 
}
int sub(int a, int b) {
    return a < b ? a - b + P : a - b;  
}
char s[N];
void dfs(int u, int pre = 0) {
    dp[u][0] = 1;
    sz[u] = 1;
    for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i) {
        int v = g[u][i];
        if (v == pre) continue;
        dfs(v, u);
        vector <int> tmp(sz[u] + sz[v] + 1);
        for (int i = 0; i <= sz[u]; ++i)
            for (int j = 0; j <= sz[v]; ++j)
                tmp[i + j] = add(tmp[i + j], (ll)dp[u][i] * dp[v][j] % P);
        sz[u] += sz[v];
        sz0[u] += sz0[v];
        sz1[u] += sz1[v];
        for (int i = 0; i <= sz[u]; ++i) dp[u][i] = tmp[i];
        // 背包：不构成新的 
        // tmp[i + j] += dp[u][i] * dp[v][j]
    }
    if (s[u] == '0') {
        ++sz0[u];
        for (int i = sz1[u] - 1; i >= 0; --i)
            dp[u][i+1] = add(dp[u][i+1], dp[u][i] * (ll)(sz1[u] - i) % P);
    } else {
        ++sz1[u];
        for (int i = sz0[u] - 1; i >= 0; --i)
            dp[u][i+1] = add(dp[u][i+1], dp[u][i] * (ll)(sz0[u] - i) % P);
    }
}
void transfer(int* A, int* B, int n) {
    // 二项式反演 A
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        for (int d = i; d <= n; ++d) {
            if ((d-i) & 1) B[i] = sub(B[i], c[d][i] * (ll)A[d] % P);
            else B[i] = add(B[i], c[d][i] * (ll)A[d] % P);
        }
    }
}
int main() {
    cout << fixed;
    cin >> m >> (s + 1);
    n = m / 2;
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1);
    c[0][0] = 1; 
    vector <int> Pw(m + 1);
    Pw[0] = 1; 
    for (int i = 1; i <= m; ++i) Pw[i] = Pw[i-1] * (ll)i % P;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; ++j) c[i][j] = add(c[i-1][j], c[i-1][j-1]);
    }
    for (int i = 0; i <= n; ++i) A[i] = (ll)dp[1][i] * Pw[n - i] % P;
    transfer(A, B, n);
    for (int i = 0; i <= n; ++i) cout << B[i] << "\n";
    return 0;
}

涂色游戏color（【CCF】NOI Online 能力测试2 提高组第一题）
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