前言： 学习了 Sutton 的《强化学习（第二版）》第6章时序差分学习的控制部分，将笔记提炼如下。
笔者阅读的是中文书籍，所提到的公式，笔者将给出其在英文书籍上的页码。英文书籍见 Sutton 个人主页：
http://incompleteideas.net/book/the-book.html
本次笔记内容：
- 6.4 Sarsa：同轨策略下的时序差分控制
- 6.5 Q 学习：离轨策略下的时序差分控制
- 6.6 期望 Sarsa
- 6.7 最大化偏差与双学习
- 6.8 游戏、后位状态和其他特殊例子
- 6.9 本章小结
在上一次笔记中，我们讨论了 动态规划（ Dynamic Programming, DP ）、蒙特卡洛方法（ Monte Carlo Method, MC ）与时序差分学习（ Temporal Difference Learning, TD ）的异同，以及时序差分学习中的预测算法。本次笔记中我们讨论其控制部分算法，其概述如下。
- Sarsa 是同轨策略下的时序差分控制，；
- Q-learning 是离轨策略下的时序差分控制；
- 期望 Sarsa 的表现比上述二者表现都更好（ van Hasselt, 2011），并且被称为“广义 Q 学习”；
- 然而，单纯的最大化操作带来了“最大化偏差”，因此我们提出“双学习”来消除“最大化偏差”；
- 此外，我们还引出了如“后位状态”的概念，没有具体讨论。
书中展示了4段实例， Zhang 都有相应代码进行实现，分别介绍如下知识点：
- 有风的网格世界（Example 6.5: Windy Gridworld）介绍 Sarsa 的性能；
- 在悬崖边行走（Example 6.6: Cliff Walking）对比了基于 ϵ \epsilon ϵ-贪心方法的 Sarsa 与 Q-learning 的控制效果；
- 接着，在介绍 期望 Sarsa 时也使用了 Cliff Walking 实例对其效果进行展示；
- 最大化偏差实例（Example 6.7: Maximization Bias Example）用于表达：双 Q 学习优于 Q 学习。
我对其代码进行了标注，请见https://github.com/PiperLiu/Reinforcement-Learning-practice-zh/blob/master/practice/05-02-Temporal-Difference-Control.ipynb。并且，我还由代码及实验结果，复述了我对于书上提出的算法对比特性的理解。
Sarsa
基于同轨策略，其更新公式为：
Q ( S t , A t ) ← Q ( S t , A t ) + α [ R t + 1 + γ Q ( S t + 1 , A t + 1 ) − Q ( S t , A t ) ] Q(S_t,A_t) \leftarrow Q(S_t,A_t) + \alpha [ R_{t+1} + \gamma Q( S_{t+1}, A_{t+1} ) - Q_(S_t , A_t ) ] Q(St,At)←Q(St,At)+α[Rt+1+γQ(St+1,At+1)−Q(St,At)]
可以看出与之前“时序差分预测”中的价值预测公式很像。
如果 S t + 1 S_{t+1} St+1 是终止状态，那么 Q ( S t + 1 , A t + 1 Q( S_{t+1}, A_{t+1} Q(St+1,At+1则定义为0。这个公式用到了元组 ( S t , A t , R t + 1 , S t + 1 , A t + 1 ) (S_t,A_t,R_{t+1},S_{t+1},A_{t+1}) (St,At,Rt+1,St+1,At+1)，因此该算法命名为 Sarsa 。
Sarsa 想要以1的概率收敛到最优的策略和动作价值函数，需要满足2个条件：
- 所有的“状态-动作”二元组都被无限多次访问到；
- 贪心策略在极限情况下能够收敛（收敛过程可以通过令 ϵ = 1 / t \epsilon = 1/t ϵ=1/t 来实现）。
算法框架中，每幕中的每步都要更新 Q ，不具体展示框架了，可见书第6章。
Q-learning
更新公式为：
Q ( S t , A t ) ← Q ( S t , A t ) + α [ R t + 1 + γ max a Q ( S t + 1 , a ) − Q ( S t , A t ) ] Q(S_t,A_t) \leftarrow Q(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma \max_a Q(S_{t+1}, a) - Q(S_t, A_t)] Q(St,At)←Q(St,At)+α[Rt+1+γamaxQ(St+1,a)−Q(St,At)]
只是变了个更新公式而已，连算法框图都没变，为什么说 Q-learning 是离轨策略呢？
- 书上的解释：In this case, the learned action-value function, Q, directly approximates q*, the optimal action-value function, independent of the policy being followed.
- 我的理解：在公式中用于更新的动作为 arg max a Q ( S ′ , a ) \argmax_a Q(S' , a) aargmaxQ(S′,a) ，而下一步却未必是 arg max a Q ( S ′ , a ) \argmax_a Q(S' , a) aargmaxQ(S′,a) ，因此为离轨策略。
我的理解方式没有错，并且，这个理解会辅助对于“最大化偏差”部分的学习。
期望 Sarsa
Q ( S t , A t ) ← Q ( S t , A t ) + α [ R t + 1 + γ E [ Q ( S t + 1 , A t + 1 ) ∣ S t + 1 ] − Q ( S t , A t ) ] ← Q ( S t , A t ) + α [ R t + 1 + γ ∑ a π ( a ∣ S t + 1 ) Q ( S t + 1 , a ) − Q ( S t , A t ) ] \begin{aligned} Q(S_t, A_t) & \leftarrow Q(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma \mathbb{E}[ Q(S_{t+1}, A_{t+1}) | S_{t+1}] - Q(S_t, A_t)]\\ & \leftarrow Q(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma \sum_a \pi(a | S_{t+1}) Q(S_{t+1},a) - Q(S_t, A_t)]\\ \end{aligned} Q(St,At)←Q(St,At)+α[Rt+1+γE[Q(St+1,At+1)∣St+1]−Q(St,At)]←Q(St,At)+α[Rt+1+γa∑π(a∣St+1)Q(St+1,a)−Q(St,At)]
虽然计算上更为复杂，但它消除了 Sarsa 中因为随机选择 A t + 1 A_{t+1} At+1 而带来的方差。并且，对于 cliff walking 中的情况，期望 Sarsa 将保持 Sarsa 相对于 Q-learning 的“能学到迂回策略”的优势。
最大化偏差与双学习
最大化偏差
上述算法中，通常是基于 ϵ − \epsilon- ϵ−贪心 来产生策略的，这其中都用到了“最大化操作”。
但是，如果在估计值的基础上进行最大化操作，就是隐式地对最大值进行估计，而这就会产生一个显著的正偏差。例子如下。
如图的MDP，A为起点，做动作 left ，则0收益；做动作 right ，之后获得的收益服从 正态分布 N(-0.1, 1)。
我们知道最优策略应该是 100% 做动作 left 。
但是，如果使用了最大化操作，动作 right 的估计值是不确定的，有些可能大于0，则估计值的最大值就产生了正数，就产生了正偏差。就是最大化偏差。
双学习
双学习可以消除最大化偏差。双学习使用了2倍的内存，但计算量无需双倍。
以双Q学习为例：
使用 Q 1 Q1 Q1 来估计 A ∗ = arg max a Q 1 ( a ) A^* = \argmax_a Q_1(a) A∗=aargmaxQ1(a) ，而 Q 2 Q_2 Q2 负责估计 Q 2 ( A ∗ ) = Q 2 ( arg max a Q 1 ( a ) ) Q_2(A^*) = Q_2(\argmax_a Q_1 (a)) Q2(A∗)=Q2(aargmaxQ1(a)) ，由于 E [ Q 2 ( A ∗ ) ] = q ( A ∗ ) \mathbb{E} [Q_2 (A^*)] = q(A^*) E[Q2(A∗)]=q(A∗) ，因此这个估计是无偏的。
即更新公式换为：
W i t h 0.5 p r o b a b i l i l i t y : Q 1 ( S t , A t ) ← Q 1 ( S t , A t ) + α [ R t + 1 + γ Q 2 ( S t + 1 , arg max a Q 1 ( S t + 1 , a ) ) − Q 1 ( S t , A t ) ] e l s e : Q 2 ( S t , A t ) ← Q 2 ( S t , A t ) + α [ R t + 1 + γ Q 1 ( S t + 1 , arg max a Q 2 ( S t + 1 , a ) ) − Q 2 ( S t , A t ) ] \begin{aligned} & With \; 0.5 \; probabilility: \\ & \quad Q_1(S_t,A_t) \leftarrow Q_1(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma Q_2(S_{t+1}, \argmax_a Q_1(S_{t+1}, a)) - Q_1(S_t, A_t)] \\ & else: \\ & \quad Q_2(S_t,A_t) \leftarrow Q_2(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma Q_1(S_{t+1}, \argmax_a Q_2(S_{t+1}, a)) - Q_2(S_t, A_t)] \\ \end{aligned} With0.5probabilility:Q1(St,At)←Q1(St,At)+α[Rt+1+γQ2(St+1,aargmaxQ1(St+1,a))−Q1(St,At)]else:Q2(St,At)←Q2(St,At)+α[Rt+1+γQ1(St+1,aargmaxQ2(St+1,a))−Q2(St,At)]
后位状态
后位状态我读了两遍，差不多明白了其意思：类似下棋的游戏中，可以由不同的状态，经过不同的动作，达到同一状态（棋盘摆放位置同），我们叫这个为后位状态。在这种情况中，后位状态显然更为重要。这很有趣，应该找些实例继续了解。
Van Roy, Bertsekas, Lee, Tsitsiklis, 1997; Powell, 2011 对其进行了研究。