[LOJ#526]「LibreOJ β Round #4」子集
试题描述
qmqmqm有一个长为 n 的数列 a1,a2,……,an，你需要选择集合{1,2,……,n}的一个子集，使得这个子集中任意两个元素 i,j 均满足条件 gcd(ai,aj)×gcd(ai+1,aj+1)≠1，其中gcd(i,j)表示最大公约数，且这个子集的元素个数是所有满足上述条件的子集中最多的。输出这个子集的元素个数。
输入
输入的第一行包含一个正整数n。 随后n行，每行一个正整数ai。
输出
输出一个整数代表符合条件的元素最多的子集的元素个数。
输入示例
输出示例
数据规模及约定
1≤n≤500
1≤ai≤1018
题解
直接建图（若 (i, j) 符合 gcd(ai,aj)×gcd(ai+1,aj+1)≠1 则在 i 和 j 之间添边），然后跑最大团。然而我并不会强剪枝。
于是考虑建补图，然后找最大独立集。对于补图，i, j 之间存在边当且仅当 gcd(ai,aj)=1 且 gcd(ai+1,aj+1)=1，若 ai 和 aj 同奇偶，则 ai 和 aj 都是偶数或 ai+1 和 aj+1 都是偶数，不可能存在边 (i, j)，所以这个补图就是一个二分图。根据“最大独立集 = n - 最小点覆盖 = n - 最大匹配”可求得答案。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long LL read() {
LL x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
} #define maxn 510
#define maxm 500010
#define oo 2147483647 struct Edge {
int from, to, flow;
Edge() {}
Edge(int _1, int _2, int _3): from(_1), to(_2), flow(_3) {}
};
struct Dinic {
int n, m, s, t, head[maxn], nxt[maxm];
Edge es[maxm];
int vis[maxn], Q[maxn], hd, tl;
int cur[maxn]; void init() {
m = 0; memset(head, -1, sizeof(head));
return ;
}
void setn(int _) { n = _; return ; } void AddEdge(int a, int b, int c) {
es[m] = Edge(a, b, c); nxt[m] = head[a]; head[a] = m++;
es[m] = Edge(b, a, 0); nxt[m] = head[b]; head[b] = m++;
return ;
} bool BFS() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
vis[s] = 1;
hd = tl = 0; Q[++tl] = s;
while(hd < tl) {
int u = Q[++hd];
for(int i = head[u]; i != -1; i = nxt[i]) {
Edge& e = es[i];
if(e.flow && !vis[e.to]) {
vis[e.to] = vis[u] + 1;
Q[++tl] = e.to;
}
}
}
return vis[t] > 0;
}
int DFS(int u, int a) {
if(u == t || !a) return a;
int flow = 0, f;
for(int& i = cur[u]; i != -1; i = nxt[i]) {
Edge& e = es[i];
if(vis[e.to] == vis[u] + 1 && (f = DFS(e.to, min(a, e.flow)))) {
flow += f; a -= f;
e.flow -= f; es[i^1].flow += f;
if(!a) return flow;
}
}
return flow;
}
int MaxFlow(int _s, int _t) {
s = _s; t = _t;
int flow = 0;
while(BFS()) {
for(int i = 1; i <= n; i++) cur[i] = head[i];
flow += DFS(s, oo);
}
return flow;
}
} sol; LL A[maxn];
LL gcd(LL a, LL b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } int main() {
int n = read();
for(int i = 1; i <= n; i++) A[i] = read(); sol.init();
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = i + 1; j <= n; j++)
if(gcd(A[i], A[j]) == 1 && gcd(A[i] + 1, A[j] + 1) == 1) {
int a = i, b = j;
if(A[a] & 1) swap(a, b);
sol.AddEdge(a, b, 1); // even -> odd
}
int s = n + 1, t = n + 2;
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(A[i] & 1) sol.AddEdge(i, t, 1);
else sol.AddEdge(s, i, 1); sol.setn(n + 2);
printf("%d\n", n - sol.MaxFlow(s, t)); return 0;
}